אלגברה לינארית/משפטים של מטריצות דומות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש


Edit-undo.svg

שקלו לדלג על נושא זה

עד למידת הנושאים: דרגה (משפט 1, 2), דטרמיננטה (משפט 3) פולינום




משפט 1: מטריצות דומות בעלות אותה דרגה

טענה: מטריצות דומות זו לזו אז


הוכחה: נגדיר ע"י אז .

מאחר ש דומה ל , קיים בסיס של כך ש .

לכן לפי הטענה הקודמת אז .

מש"ל.PNG


משפט 2: דרגת המטריצה זהה לדרגת המטריצה המשוחלפת

טענה: אם מטריצה אז

הוכחה: נגדיר ע"י . אז .

לפי טענה קודמת, ובנוסף .


מש"ל.PNG



משפט 3: שתי מטריצות דומות בעלות אותה דטרמיננטה


משפט 4: לשתי מטריצות דומות אותו פולינום אופייני (ולכן גם אותם ע"ע)

הוכחה: נניח . אז מתקיים:

אלה כמובן סקלרים בשדה ולכן יש קומוטאטיביות ביניהם:


מש"ל.PNG


משפט 5: תהי העתקה לינארית T ובסיס E ל- כך ש- ותהי B אזי A דומה ל-B אם ורק אם קיים בסיס F כך ש-

משתי התכונות האחרונות (משפט 3,4) עולה כי ניתן להגדיר פולינום אופייני של העתקה בתור כאשר A היא מטריצה מייצגת כלשהי של P (כל המטריצות המייצגות של P דומות מהתכונה האחרונה, לכן יש לכולן פולינום אופייני ולכן הפולינום האופייני מוגדר היטב).