אלגברה לינארית/משפטים של מטריצות דומות

שקלו לדלג על נושא זה עד למידת הנושאים: דרגה (משפט 1, 2), דטרמיננטה (משפט 3) פולינום

משפט 1: מטריצות דומות בעלות אותה דרגה טענה: $K,L$ מטריצות $n\times n$ דומות זו לזו אז $rkK=rkL$ הוכחה: נגדיר $T_k:{𝔽}^n\to {𝔽}^n$ ע"י $T_k\left(x\right)=Kx$ אז ${\left[T_k\right]}_{{ℰ}_n}^{{ℰ}_n}=K$. מאחר ש$L$ דומה ל $K$, קיים בסיס $C$ של ${𝔽}^n$ כך ש ${\left[T_k\right]}_C^C=L$. לכן לפי הטענה הקודמת אז $rkK=rk{T}_K=rkL$.

משפט 2: דרגת המטריצה זהה לדרגת המטריצה המשוחלפת טענה: אם $A$ מטריצה $m\times n$ אז $rk{A}^t=rkA$ הוכחה: נגדיר $T_A:{𝔽}^n\to {𝔽}^m$ ע"י $T_A\left(x\right)=Ax$. אז ${\left[T_A\right]}_{{ℰ}_m}^{{ℰ}_n}=A$. לפי טענה קודמת, ${\left[T_A^{\ast }\right]}_{{ℰ}_m^{\ast }}^{{ℰ}_n^{\ast }}=A^t$ ובנוסף $rkA=rk{T}_A=rk{T}_A^{\ast }=rk{A}^t$.

משפט 3: שתי מטריצות דומות בעלות אותה דטרמיננטה $|B|=|P^{-1}AP|=|P^{-1}|\cdot |A|\cdot |P|=|P^{-1}|\cdot |P|\cdot |A|=|P^{-1}P|\cdot |A|=|I|\cdot |A|=1\cdot |A|=|A|$

משפט 4: לשתי מטריצות דומות אותו פולינום אופייני (ולכן גם אותם ע"ע) הוכחה: נניח $B=P^{-1}AP$ . אז מתקיים: $p_B(x)=|xI-B|=|xI-P^{-1}AP|=|x{P}^{-1}IP-P^{-1}AP|=|P^{-1}(xI-A)P|=|P^{-1}|\cdot |xI-A|\cdot |P|$ אלה כמובן סקלרים בשדה ולכן יש קומוטאטיביות ביניהם: $|P^{-1}|\cdot |xI-A|\cdot |P|=|P^{-1}|\cdot |P|\cdot |xI-A|=|P^{-1}P|\cdot |xI-A|=|I|\cdot |xI-A|=1\cdot |xI-A|=p_A(x)$

משפט 5: תהי העתקה לינארית T ובסיס E ל- ${𝔽}^n$ כך ש- $A=[T{]}_E$ ותהי B אזי A דומה ל-B אם ורק אם קיים בסיס F כך ש- $[T{]}_F=B$ משתי התכונות האחרונות (משפט 3,4) עולה כי ניתן להגדיר פולינום אופייני של העתקה בתור $p_T(x)=p_A(x)$ כאשר A היא מטריצה מייצגת כלשהי של P (כל המטריצות המייצגות של P דומות מהתכונה האחרונה, לכן יש לכולן פולינום אופייני ולכן הפולינום האופייני מוגדר היטב).