עכשיו תורכם:
f i ( x ) = f i − 1 ( x ) {\displaystyle f_{i}\left(x\right)=f_{i-1}\left(x\right)} לכל x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } . האם { f 0 , f 1 , . . . } {\displaystyle \left\{f_{0},f_{1},...\right\}} בת"ל?
אם הקבוצה ת"ל, נמצא n {\displaystyle n} מינימלי כך ש- { f 0 , . . , f n } {\displaystyle \left\{f_{0},..,f_{n}\right\}} ת"ל.
אז סדרת פונקציות הזזה יהיו f 0 ( x ) = x {\displaystyle f_{0}\left(x\right)=x} ו- f 1 ( x ) = f 1 − 1 ( x − 1 ) = f 0 ( x − 1 ) = x − 1 {\displaystyle f_{1}\left(x\right)=f_{1-1}(x-1)=f_{0}(x-1)=x-1} וכן הלאה, f n = x − n {\displaystyle f_{n}=x-n}
קיבלנו סדרה אינסופית של פולינומים ממעלה 1 {\displaystyle 1} , כלומר f i ∈ R [ x ] ≤ 1 {\displaystyle f_{i}\in \mathbb {R} \left[x\right]_{\leq 1}} ולכן המ"ו הוא ממימד d i m = R [ x ] ≤ 1 + 1 = 2 {\displaystyle dim=R[x]_{\leq 1}+1=2}
{ f 0 , f 1 , f 2 } {\displaystyle \left\{f_{0},f_{1},f_{2}\right\}} ת"ל מפני ש { f 0 , f 1 } {\displaystyle \left\{f_{0},f_{1}\right\}} בת"ל עם n = 2 {\displaystyle n=2} , ולכן הקבוצה ת"ל מינימלית.
אז סדרת פונקציות הזזה יהיו f 0 = { 1 x = 0 0 x ≠ 0 , < m a t h > f 1 = { 1 x = 1 0 x ≠ 1 {\displaystyle f_{0}={\begin{cases}1&x=0\\0&x\neq 0\end{cases}},<math>f_{1}={\begin{cases}1&x=1\\0&x\neq 1\end{cases}}} , f 2 = { 1 x = 2 0 x ≠ 2 {\displaystyle f_{2}={\begin{cases}1&x=2\\0&x\neq 2\end{cases}}} וכן הלאה </math>
נוכיח שהקבוצה בת"ל:יהיו c 1 , . . , c n ∈ R {\displaystyle c_{1},..,c_{n}\in \mathbb {R} } כך ש- c 0 f 0 + . . . + c n f n = 0 {\displaystyle c_{0}f_{0}+...+c_{n}f_{n}=0} .נרצה להוכיח שהצירוף טריוולי כלומר c 0 = c 1 = . . . = c n = 0 {\displaystyle c_{0}=c_{1}=...=c_{n}=0} לכל k ∈ N ∪ { 0 } {\displaystyle k\in \mathbb {N} \cup \{0\}} אז לכל 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n} נציב x = k {\displaystyle x=k} ונקבל : c 0 f 0 ( k ) ⏟ 0 + . . . + c k − 1 f k − 1 ( k ) ⏟ 0 + c k f k ( k ) ⏟ 1 + c k + 1 f k + 1 ( k ) ⏟ 0 + . . . + c n f n ⏟ 0 = 0 {\displaystyle \underbrace {c_{0}f_{0}(k)} _{0}+...+\underbrace {c_{k-1}f_{k-1}(k)} _{0}+\underbrace {c_{k}f_{k}(k)} _{1}+\underbrace {c_{k+1}f_{k+1}(k)} _{0}+...+\underbrace {c_{n}f_{n}} _{0}=0} . כל המקדמים הם אפסים ולכן c k f k ( k ) = 0 {\displaystyle c_{k}f_{k}(k)=0} וכך נמשיך לכל סקלר ונראה שווה לאפס
. נבחר 
. נגדיר סדרה אינסופית של פונקציות 
באופן הבא:
לכל 
. האם 
בת"ל?
מינימלי כך ש-
ת"ל.
ו-
לכל כאשר 
![{\displaystyle f_{i}\in \mathbb {R} \left[x\right]_{\leq 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe775e729b57ab1f9ee698fe8455f23f4da3b9ab)
![{\displaystyle dim=R[x]_{\leq 1}+1=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a71e0d30eaf8c7b76c16d5116d35307ea85cacfb)
