אלגברה לינארית/מטריצה הופכית

הגדרה 1: מטריצה הופכית והפיכה תהיינה $A\in \mathbb {F} ^{m\times n}$. אם קיימת $B$ עבורה $AB=I$ אז $A$ נקראת הפיכה מימין ו־$B$ הופכית שלה מימין. אם קיימת $B$ עבורה $BA=I$ אז $A$ נקראת הפיכה משמאל ו־$B$ הופכית שלה משמאל.

הגדרה 2: מטריצה הופכית והפיכה מטריצה תיקרא הפיכה אם הפיכה מימין וגם משמאל כלומר אם מתקיים $AB=BA=I_{n}$ נסמן $B=A^{-1}$ (לאור תכונת יחידויות המטריצה ההפכית)

טענה 1: אם $A,B$ הפוכות זו לזו, וגם $A,C$ הפוכות זו לזו, אז $B=C$ נוכיח את יחידויות המטריצה ההפוכה $B=I_{n}B=(CA)\cdot B=C(AB)=C\cdot I_{n}=C$

טענה 2: לכל פעולת שורה אלמנטרית קיימת פעולת שורה אלמנטרית הפוכה אם $\varepsilon :R_{i}\to c\cdot R_{i}$ אז $\delta :R_{i}\to {\frac {1}{c}}\cdot R_{i}$ אם $\varepsilon :R_{i}\to R_{i}+cR_{j}$ ו־$i\neq j$ אז $\delta :R_{i}\to R_{i}-cR_{j}$. אם $\varepsilon :R_{i}\leftrightarrow R_{j}$ אז גם $\delta =\varepsilon$

טענה 3: אם $\varepsilon ,\delta$ הן פעולות שורה אלמנטריות הפוכות זו לזו, ו־$E,D$ אלמנטריות שמתאימות בהתאמה לפעולות $\varepsilon ,\delta$, אז $E,D$ הפוכות זו לזו.

טענה 4: לכל מטריצה אלמנטרית יש מטריצה אלמנטרית הפוכה תהי $A\in M_{n\times m}$, פעולה אלמנטרית הפוכה $\varepsilon$ ו־$\delta$ הפעולה האלמנטרית ההפוכה כך שהמטריצות האלמנטריות המתקבלות מהן מקיימות, $\mathrm {E} \Delta =I_{m}$ אז על פי אסוציאטיביות של הכפל $\varepsilon (\delta (A))=(\varepsilon \delta )(A)=\underbrace {I_{m}A} _{A}=(\delta \varepsilon )(A)=\delta (\varepsilon (A))$

טענה 4: לכל מטריצה אלמנטרית קיימת מטריצה הפוכה

טענה 5: מכפלת מטריצות הפיכות, AB הפיכה אם"ם A הפיכה וגם B הפיכה תהי $A,B\in M_{n\times n}$. $AB$ הפיכה אם"ם $A$ הפיכה ו־$B$ הפיכה. מכיוון ראשון, נתון כי $AB$ הפיכה ולכן קיימת לה מטריצה הפוכה נסמנה $Q=(BA)^{-1}$ אזי מתקיים $Q(AB)=I_{n}$. נוכיח כי $A$ הפיכה: $I_{n}=Q(AB)=(AB)Q=A(BQ)=(AB)Q=I_{n}$ על פי כפל של שלוש מטריצות שווה זה לזה. נוכיח כי $B$ הפיכה: $Q(AB)=(QA)B=I_{n}$ מכיוון שני נתון כי $A$ הפיכה ו־$B$ הפיכה ולכן קיימות להן בהתאמה מטריצות הופכיות: $AA^{-1}=I_{n},\ BB^{-1}=I_{n}$. נוכיח כי $AB$ הפיכה: $I_{n}=A\cdot A^{-1}=A\cdot I_{n}\cdot A^{-1}=A(B\cdot B^{-1})A^{-1}=(AB)(B^{-1}A^{-1})$ מסקנה: תהי מטריצה $A\in M_{n\times n}$. קיימת $R$ מטריצה מדורגת מצומצמת המתקבל מ־$A$ ע"י סדרה של פעולות שורה אלמנטריות אז קיימת $P\in M_{m\times m}$ הפיכה עבורה $R=PA$.

טענה 5: $A\in M_{n\times n}$ הפיכה אם ורק אם המטריצה המדורגת מצומצמת שלה $R$ היא $I_{n}$ צ"ל נתונה מטריצה $A\in M_{n\times n}$, ו־$R$ היא מטריצה מדורגת מצומצמת המתקבלת מ־$A$ ע"י פעולות שורה אלמנטריות אז $A$ הפיכה אם ורק אם המטריצה $R=I_{n}$. מכיוון ראשון, תהי $R=I_{n}$ צ"ל: $A$ הפיכה. נתון: $I_{n}=R$. לפי המסקנה קיימת מטריצה הפיכה $P$ עבורה $I_{n}=R=PA$. נותר להוכיח כי $A$ הפיכה: $P$ הפיכה ולכן קיימת מטריצה $Q$ הפוכה ל־$P$ (כלומר $Q=P^{-1}$). נתבונן בביטוי $Q=Q\cdot I_{n}=Q(PA)=(QP)A=I_{n}A=A$. לכן $Q=A$, ו־$A,P$ הפוכות זו לזו, ולכן $A$ הפיכה. מכיוון שני: נתון כי $A$ הפיכה. צ"ל: $R=I_{n}$ לפי המסקנה קיימת מטריצה הפיכה $P$ עבורה $R=PA$. נניח בשלילה כי $R\neq I_{n}$. לכן מספר האברים המובילים ב־$R$ קטן מ־$n$ ועל כן קיימת לפחות שורת אפסים בשורה האחרונה של $R$. $A,P$ הפיכות ולכן קיימות מטריצות $B,Q$ הפוכות למטריצות $A,P$ בהתאמה. $R(BQ)=(PA)(BQ)=P{\bigl (}(AB)Q{\bigr )}=P(I_{n}Q)=PQ=I_{n}$ בסתירה לכך ש־$R$ היא מטריצה עם שורת אפסים. הרי כפל של המטריצות $R(BQ)$ הוא כפל של מטריצה $R$ עם שורה אחרונה של שורת אפסים, ולכן מכפלת שורת אפסים תניב שורה של אפסים.

טענה 6: אם $A$ מטריצה הפיכה בגודל $n\times n$ וגם $I_{n}$ מתקבלת מ־$A$ ע"י סדרה של פעולות שורה אלמנטריות, אז המטריצה ההפוכה ל־$A$ מתקבלת מ־$I_{n}$ מאותה סדרה של פעולות שורה אלמנטריות. נדבר פה על מטריצות ריבועיות בלבד כיון שרק אז מתקיים שאם $A$ הפיכה יש לה הופכי יחיד, אותו נרצה למצוא. כדי למצוא את ההופכי של $A$ נדרג קנונית ככה שתצא המטריצה $I$. אם לא אפשרי, $A$ לא הפיכה. כעת אותם פעולות שורה שבצענוו על $A$, נבצע לפי אותו סדר על $I$ וכך נקבל את $A^{-1}$ . ההסבר לנכונות תהליך זה הוא שפעולת שורה הוא בעצם כפל במטריצה $I$ עם אותה פעולת שורה עליה מצד שמאל. לכן, אם יש לי רצף של פעולות שורה $E_{1},\ldots ,E_{k}$ עבורן $E_{1}\cdot E_{2}\cdots E_{k-1}\cdot E_{k}\cdot A=I$ (זהו בעצם הפעלת $k$ פעולות שורה על $A$ כך שנגיע בסוף ל־$I$) אז הרי $(E_{1}\cdot E_{2}\cdots E_{k-1}\cdot E_{k})$ היא מטריצה שע"י כפל ב־$A$ נקבל את $I$ ומיחידות ההופכי נגלה כי $E_{1}\cdot E_{2}\cdots E_{k-1}\cdot E_{k}=E_{1}\cdot E_{2}\cdots E_{k-1}\cdot E_{k}\cdot I=A^{-1}$ זה בעצם אומר שהכפל הזה של המטריצות הוא כמו אותו דבר רק כפל ב-I שזה לעשות את אותם פעולות שורה לפי הסדר על $I$

דוגמה 1: מציאת מטריצה הפכית מתוך טענה קודמת $A:I=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&-2&1&0&0\\2&-3&-5&0&1&0\\-1&3&5&0&0&1\end{array}}\right]$ ונדרגה: חיסור השורה הראשונה כפול 2 מהשורה השניה, וחיבור השורה הראשונה לשורה השלישית: $\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&-2&1&0&0\\0&-1&-1&-2&1&0\\0&2&3&1&0&1\end{array}}\right]$ הכפלת השורה השניה ב־1-: $\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&-2&1&0&0\\0&1&1&2&-1&0\\0&2&3&1&0&1\end{array}}\right]$ חיבור השורה השניה לראשונה, וחיסור השורה השניה כפול 2 מהשורה השלישית: $\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&-1&3&-1&0\\0&1&1&2&-1&0\\0&0&1&-3&2&1\end{array}}\right]$ חיבור השורה השלישית לשורה הראשונה, וחיסור השורה השלישית מהשורה השניה: $\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&0&1&1\\0&1&0&5&-3&-1\\0&0&1&-3&2&1\end{array}}\right]$ ולכן מאחר שקבלנו מטריצה יחידה מצדו השמאלי אז המטריצה הפיכה והמטריצה ההופכית שלה היא $A^{-1}={\begin{bmatrix}0&1&1\\5&-3&-1\\-3&2&1\end{bmatrix}}$