אלגברה לינארית/מטריצה הופכית

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הגדרה 1: מטריצה הופכית והפיכה

תהיינה .

אם קיימת עבורה אז נקראת הפיכה מימין ו־ הופכית שלה מימין.

אם קיימת עבורה אז נקראת הפיכה משמאל ו־ הופכית שלה משמאל.


הגדרה 2: מטריצה הופכית והפיכה

מטריצה תיקרא הפיכה אם הפיכה מימין וגם משמאל כלומר אם מתקיים נסמן (לאור תכונת יחידויות המטריצה ההפכית)


טענה 1: אם הפוכות זו לזו, וגם הפוכות זו לזו, אז

נוכיח את יחידויות המטריצה ההפוכה


טענה 2: לכל פעולת שורה אלמנטרית קיימת פעולת שורה אלמנטרית הפוכה

אם אז

אם ו־ אז .

אם אז גם


טענה 3: אם הן פעולות שורה אלמנטריות הפוכות זו לזו, ו־ אלמנטריות שמתאימות בהתאמה לפעולות , אז הפוכות זו לזו.


טענה 4: לכל מטריצה אלמנטרית יש מטריצה אלמנטרית הפוכה

תהי , פעולה אלמנטרית הפוכה ו־ הפעולה האלמנטרית ההפוכה כך שהמטריצות האלמנטריות המתקבלות מהן מקיימות, אז על פי אסוציאטיביות של הכפל


טענה 4: לכל מטריצה אלמנטרית קיימת מטריצה הפוכה


טענה 5: מכפלת מטריצות הפיכות, AB הפיכה אם"ם A הפיכה וגם B הפיכה

תהי .

הפיכה אם"ם הפיכה ו־ הפיכה.

מכיוון ראשון, נתון כי הפיכה ולכן קיימת לה מטריצה הפוכה נסמנה אזי מתקיים .

נוכיח כי הפיכה: על פי כפל של שלושה מטריצות שווה זה לזה.

נוכיח כי הפיכה:

מכיוון שני נתון כי הפיכה ו־ הפיכה ולכן קיימות להן בהתאמה מטריצות הופכיות: .

נוכיח כי הפיכה:

מסקנה: תהי מטריצה . קיימת מטריצה מדורגת מצומצמת המתקבל מ־ ע"י סדרה של פעולות שורה אלמנטריות אז קיימת הפיכה עבורה .


טענה 5: הפיכה אם ורק אם המטריצה המדורגת מצומצמת שלה היא

צ"ל נתונה מטריצה , ו־ היא מטריצה מדורגת מצומצמת המתקבלת מ־ ע"י פעולות שורה אלמנטריות אז הפיכה אם ורק אם המטריצה .

מכיוון ראשון, תהי

צ"ל: הפיכה.

נתון: .

לפי המסקנה קיימת מטריצה הפיכה עבורה .

נותר להוכיח כי הפיכה:

הפיכה ולכן קיימת מטריצה הפוכה ל־ (כלומר ).

נתבונן בביטוי . לכן , ו־ הפוכות זו לזו, ולכן הפיכה.


מכיוון שני:

נתון כי הפיכה.

צ"ל:

לפי המסקנה קיימת מטריצה הפיכה עבורה .

נניח בשלילה כי . לכן מספר האברים המובילים ב־ קטן מ־ ועל כן קיימת לפחות שורת אפסים בשורה האחרונה של .

הפיכות ולכן קיימות מטריצות הפוכות למטריצות בהתאמה.

בסתירה לכך ש־ היא מטריצה עם שורת אפסים. הרי כפל של המטריצות הוא כפל של מטריצה עם שורה אחרונה של שורת אפסים, ולכן מכפלת שורת אפסים תניב שורה של אפסים.


טענה 6: אם מטריצה הפיכה בגודל וגם מתקבלת מ־ ע"י סדרה של פעולות שורה אלמנטריות, אז המטריצה ההפוכה ל־ מתקבלת מ־ מאותה סדרה של פעולות שורה אלמנטריות.

נדבר פה על מטריצות ריבועיות בלבד כיון שרק אז מתקיים שאם הפיכה יש לה הופכי יחיד, אותו נרצה למצוא.

כדי למצוא את ההופכי של נדרג קנונית ככה שתצא המטריצה . אם לא אפשרי, לא הפיכה. כעת אותם פעולות שורה שבצענוו על , נבצע לפי אותו סדר על וכך נקבל את .

ההסבר לנכונות תהליך זה הוא שפעולת שורה הוא בעצם כפל במטריצה עם אותה פעולת שורה עליה מצד שמאל. לכן, אם יש לי רצף של פעולות שורה עבורן (זהו בעצם הפעלת פעולות שורה על כך שנגיע בסוף ל־) אז הרי היא מטריצה שע"י כפל ב־ נקבל את ומיחידות ההופכי נגלה כי

זה בעצם אומר שהכפל הזה של המטריצות הוא כמו אותו דבר רק כפל ב-I שזה לעשות את אותם פעולות שורה לפי הסדר על



דוגמה 1: מציאת מטריצה הפכית מתוך טענה קודמת

ונדרגה:

חיסור השורה הראשונה כפול 2 מהשורה השניה, וחיבור השורה הראשונה לשורה השלישית:

הכפלת השורה השניה ב־1-:

חיבור השורה השניה לראשונה, וחיסור השורה השניה כפול 2 מהשורה השלישית:

חיבור השורה השלישית לשורה הראשונה, וחיסור השורה השלישית מהשורה השניה:

ולכן מאחר שקבלנו מטריצה יחידה מצדו השמאלי אז המטריצה הפיכה והמטריצה ההופכית שלה היא