אלגברה לינארית/המרחב הדואלי

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הגדרה 1: מרחב דואלי

יהיו מרחבים וקטוריים מעל . המרחב הדואלי של הוא המרחב של כל הפונקציונלים כלומר , ומסומן ב- .



משפט 2: המימד של המרחב הדואלי זהה למרחב ש-

נגדיר את העתקת יוטא (העתקה של מעבר בסיסים) באמצעות שני בסיסים ומעבר. יהי מ"ו מעל , ו- בסיס של . נגדיר את וקטור הבסיס של הטווח, , ממעלה אחת ולכן נגדיר את בתור בסיס של .העתקה היא העתקה ליניארית הפיכה.

עבור נסמן ב את המטריצה . אז הינו בסיס של לכן ומכאן .כלומר הראנו כי המימד של המרחב הדואלי זהה למרחב ש-


הגדרה 3: הבסיס של

יהי שדה , מרחב ווקטורי מעל השדה והמרחב הדואלי למרחב V המסומן

הבסיס של הוא ההעתקה כאשר ו-

הדלתא של קרונקר: כאשר


הוכחה: לכל נסמן את התמונה ההפוכה של ב: כלומר היא פונקציונל על V ככה ששהמטריצה על פונקציול זה ביחס לבסיסי B,C תהיה מטריצה :

אז (פונקציול על V, העתקה ) כך ש .

אז כאשר ואחרת .

אז מהווה בסיס של (המרחב הדואלי).


טענה 1: יחידות הבסיס הדואלי

יהי מ"ו מעל ו בסיס של . אז כך שמתקיים עבור ו.

אז


טענה 2:

נבחר ו אז (לפי הגדרה שורה של מטריצה כפול כלומר העמודה ה- של אנו מקבלים מקבל מקדם במקום . אנחנו יודעים כי )

לכן הוא המקדם המופיע בחיתוך של השורה ה והעמודה ה של ולכן כאשר ו.

אז לפי הטענה הקודמת הוא הבסיס הדואלי של B.

בבסיס מציאת בסיס דואלי הינה לקיחת השורה המתאימה במטריצה ההפוכה.


טענה 3: יהי V מ"ו מעל ו בסיס של , ו. אז:

נבחר אז מכאן ש


מש"ל.PNG