במקרה זה אנו מכניסים ווקטור בבסיס
B
{\displaystyle B}
וממשיכים עם כיוון החיצים
דוגמה למציאת מטריצה מייצגת:
[
T
(
v
)
]
c
=
[
T
]
c
b
∗
[
v
]
b
{\displaystyle {\color {red}[T(v)]_{c}}=[T]_{c}^{b}*[v]_{b}}
נתון:
בסיס של
R
2
{\displaystyle R^{2}}
B
=
(
v
1
,
v
2
)
=
{
[
1
1
]
,
[
2
1
]
}
{\displaystyle B=(v_{1},v_{2})={\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}2\\1\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}}
מטריצה העתקה לינארית:
A
=
{
[
1
0
0
−
1
]
}
{\displaystyle A={\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}}
מצא את
[
T
A
]
E
B
{\displaystyle [T_{A}]_{E}^{B}}
נמצא את <
[
T
A
]
E
B
{\displaystyle [T_{A}]_{E}^{B}}
ראשית נמצא את ייצוגו של הווקטור לאחר הפעלה של העתקה לינארית עליו:
T
A
(
v
1
)
=
[
1
0
0
−
1
]
[
1
1
]
=
[
1
−
1
]
{\displaystyle T_{A}(v_{1})=\left[{\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}}\right]}
T
A
(
v
2
)
=
[
1
0
0
−
1
]
[
2
1
]
=
[
2
−
1
]
{\displaystyle T_{A}(v_{2})=\left[{\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}2\\1\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}}\right]}
לכן בכדי למצוא את
[
T
A
]
E
B
{\displaystyle [T_{A}]_{E}^{B}}
, כלומר את העתקה המופעלת על ווקטורי הבסיס
B
{\displaystyle B}
ושולחת אל בסיס
E
{\displaystyle E}
, עלינו לדעת בכמה הכפילו את הווקטורים לאחר שהתבצעה עליהם העתקה, והם הגיעו אל
R
2
{\displaystyle R^{2}}
, כך שיהיו בבסיס
E
{\displaystyle E}
.
במילים אחרות עלינו לשאול באיזה סקלר הוכפלו ווקטורי הבסיס
E
=
{
[
1
0
]
,
[
0
1
]
}
{\displaystyle E={\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}}
כך שהתקבל
T
A
(
v
1
)
=
[
1
−
1
]
{\displaystyle T_{A}(v_{1})=\left[{\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}}\right]}
וגם
T
A
(
v
2
)
=
[
2
−
1
]
{\displaystyle T_{A}(v_{2})=\left[{\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}}\right]}
:
x
11
∗
[
1
0
]
+
x
21
∗
[
0
1
]
=
[
1
1
]
{\displaystyle x_{11}*\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right]+x_{21}*\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right]}
x
12
∗
[
1
0
]
+
x
22
∗
[
0
1
]
=
[
2
−
1
]
{\displaystyle x_{12}*\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right]+x_{22}*\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}}\right]}
נפתור את מערכת המשוואות ונקבל כי
[
x
11
x
21
]
=
[
1
1
]
,
[
x
12
x
22
]
=
[
2
−
1
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}x_{11}\\x_{21}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}x_{12}\\x_{22}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}}\right]}
על כן המטריצה שלנו הינה:
[
T
A
]
E
B
=
[
1
2
1
−
1
]
{\displaystyle [T_{A}]_{E}^{B}=\left[{\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}}\right]}
נמצא את <
[
T
A
]
B
B
{\displaystyle [T_{A}]_{B}^{B}}
ראשית נמצא את ייצוגו של הווקטור לאחר הפעלה של העתקה לינארית עליו:
T
A
(
v
1
)
=
[
1
0
0
−
1
]
[
1
1
]
=
[
1
−
1
]
{\displaystyle T_{A}(v_{1})=\left[{\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}}\right]}
T
A
(
v
2
)
=
[
1
0
0
−
1
]
[
2
1
]
=
[
2
−
1
]
{\displaystyle T_{A}(v_{2})=\left[{\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}2\\1\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}}\right]}
לכן בכדי למצוא את
[
T
A
]
B
B
{\displaystyle [T_{A}]_{B}^{B}}
, כלומר את העתקה המופעלת על ווקטורי הבסיס
B
{\displaystyle B}
ושולחת אל בסיס
B
{\displaystyle B}
, עלינו לדעת בכמה הכפילו את הווקטורים לאחר שהתבצעה עליהם העתקה, והם הגיעו אל
R
2
{\displaystyle R^{2}}
, כך שיהיו בבסיס
B
{\displaystyle B}
.
במילים אחרות עלינו לשאול באיזה סקלר הוכפלו ווקטורי הבסיס
B
=
(
v
1
,
v
2
)
=
{
[
1
1
]
,
[
2
1
]
}
{\displaystyle B=(v_{1},v_{2})={\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}2\\1\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}}
כך שהתקבל
T
A
(
v
1
)
=
[
1
−
1
]
{\displaystyle T_{A}(v_{1})=\left[{\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}}\right]}
וגם
T
A
(
v
1
)
=
[
2
−
1
]
{\displaystyle T_{A}(v_{1})=\left[{\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}}\right]}
:
x
11
∗
[
1
1
]
+
x
21
∗
[
2
1
]
=
[
1
−
1
]
{\displaystyle x_{11}*\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right]+x_{21}*\left[{\begin{matrix}2\\1\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}}\right]}
x
12
∗
[
1
1
]
+
x
22
∗
[
2
1
]
=
[
2
−
1
]
{\displaystyle x_{12}*\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right]+x_{22}*\left[{\begin{matrix}2\\1\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}}\right]}
נפתור את מערכת המשוואות ונקבל כי
[
x
11
x
21
]
=
[
−
1
1
]
,
[
x
12
x
22
]
=
[
0
1
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}x_{11}\\x_{21}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}x_{12}\\x_{22}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]}
על כן המטריצה שלנו הינה:
[
T
A
]
B
B
=
[
−
1
0
1
1
]
{\displaystyle [T_{A}]_{B}^{B}=\left[{\begin{matrix}-1&0\\1&1\end{matrix}}\right]}