אלגברה לינארית/פונקציה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

פונקציה[עריכה]

הגדרה 1: פונקציה

נתונה קבוצה ושדה . העתקה נקראת פונקציה על .


הגדרה 2:

אם שתי פונקציות כך ש: ו.

אז הסכום מוגדר ע"י לכל

המכפלה מוגדרת ע"י לכל .

המכפלה ש ב מוגדרת ע"י לכל .

הקדמה למרחב הפונקציות[עריכה]

נסמן ב- את הקבוצה של כל הפונקציות מ ל

אז ב מוגדרות פעולות חיבור וכפל בסקלר.

ניתן לבדוק כי יחד עם הפעולות הללו מקיימת את כל האקסיומות של מרחב וקטורי מעל כלומר הוא מ"ו.

מרחב הפונקציות[עריכה]

הגדרה 3: מרחב פונקציות

יהי שדה ו- קבוצה. קבוצה של כל הפונקציות מ אל אז היא מרחב :

הוכחה: יהי ו- אזי:

  • סגירות לחיבור: כלומר מתקיים ש-
  • סגירות לכפל: מתקיים כך ש- .


מש"ל.PNG

סימון: יהי שדה, אז מרחב הפונקציות יהיה . מתקיים שלכל פונקציה (כל פונקציה שנמצאת במרחב הפונקציות) אז הפלט שלה נמצא בשדה


דוגמה 1: מרחב הפונקציות

יהי השדה והקבוצה

  1. נגדיר בצורה הבאה:
  2. נגדיר בצורה הבאה: .

אז נראה כי סגורה לחיבור:


מרחב הפונקציות של המטריצות ()[עריכה]

הגדרה 4: מרחב הפונקציות של המטריצות ()

יהי שדה והקבוצה (ניתן לייצג את איברי קבוצה כקורדינטות של מטריצה) אז מרחב הפונקציות ולכל פונקציה במרחב הפונקציות ניתן להתאים מטריצה בגודל .במקרה זה ניתן לסמן את המרחב הפונקציות גם

.

תת מרחב של מרחב הפונקציות[עריכה]

הגדרה 5: תת מרחב של מרחב הפונקציות

יהי שדה, קבוצה כך שהמרחב הווקטורי הינו ו- .

נגדיר . נוכיח כי הוא תת מרחב של :

  • פונקציית אפס שייכת ל-
  • סגירות לחיבור: יהי אז מתקיים , ולכן ולכן
  • סגירות לכפל: לכל ו אז ולכן ולכן .

מרחב הפולינומים ()[עריכה]

הגדרה 6: מרחב הפולינומים

יהי שדה, ו-. נגדיר



דוגמה 1: ההבדל בין מרחב הפולינומים לפולינומים

יהי שדה . תת מרחב של בו קיימות 4 פונקציות בלבד: בצורה כך ש- ו-.

גם בצורה אז גם ו-.

לעומת זאת הוא פולינום עם אינסוף אפשרויות