אלגברה לינארית/פונקציה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

פונקציה[עריכה]

הגדרה 1: פונקציה

נתונה קבוצה ושדה . העתקה נקראת פונקציה על .


הגדרה 2:

אם שתי פונקציות כך ש: ו.

אז הסכום מוגדר ע"י לכל

המכפלה מוגדרת ע"י לכל .

המכפלה ש ב מוגדרת ע"י לכל .

הקדמה למרחב הפונקציות[עריכה]

נסמן ב- את הקבוצה של כל הפונקציות מ ל

אז ב מוגדרות פעולות חיבור וכפל בסקלר.

ניתן לבדוק כי יחד עם הפעולות הללו מקיימת את כל האקסיומות של מרחב וקטורי מעל כלומר הוא מ"ו.

מרחב הפונקציות[עריכה]

הגדרה 3: מרחב פונקציות

יהי שדה ו- קבוצה. קבוצה של כל הפונקציות מ אל אז היא מרחב :

הוכחה: יהי ו- אזי:

  • סגירות לחיבור: כלומר מתקיים ש-
  • סגירות לכפל: מתקיים כך ש- .


מש"ל.PNG

סימון: יהי שדה, אז מרחב הפונקציות יהיה . מתקיים שלכל פונקציה (כל פונקציה שנמצאת במרחב הפונקציות) אז הפלט שלה נמצא בשדה


דוגמה 1: מרחב הפונקציות

יהי השדה והקבוצה

  1. נגדיר בצורה הבאה:
  2. נגדיר בצורה הבאה: .

אז נראה כי סגורה לחיבור:


מרחב הפונקציות של המטריצות ()[עריכה]

הגדרה 4: מרחב הפונקציות של המטריצות () תוכן=יהי שדה והקבוצה (ניתן לייצג את איברי קבוצה כקורדינטות של מטריצה) אז מרחב הפונקציות ולכל פונקציה במרחב הפונקציות ניתן להתאים מטריצה בגודל .במקרה זה ניתן לסמן את המרחב הפונקציות גם .

{{{תוכן}}}

תת מרחב של מרחב הפונקציות[עריכה]

הגדרה 5: תת מרחב של מרחב הפונקציות

יהי שדה, קבוצה כך שהמרחב הווקטורי הינו ו- .

נגדיר . נוכיח כי הוא תת מרחב של :

  • פונקציית אפס שייכת ל-
  • סגירות לחיבור: יהי אז מתקיים , ולכן ולכן
  • סגירות לכפל: לכל ו אז ולכן ולכן .

מרחב הפולינומים ()[עריכה]

הגדרה 6: מרחב הפולינומים

יהי שדה, ו-. נגדיר



דוגמה 1: ההבדל בין מרחב הפולינומים לפולינומים

יהי שדה . תת מרחב של בו קיימות 4 פונקציות בלבד: בצורה כך ש- ו-.

גם בצורה אז גם ו-.

לעומת זאת הוא פולינום עם אינסוף אפשרויות