אלגברה לינארית/מטריצה מייצגת

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הגדרה 1.8.1: 12 מטריצה מייצגת - מטריצת מעבר מבסיס B לבסיס C

נגדיר את קיום העתקה

יהיו מ"ו מעל , הם בסיסים סדורים של בהתאמה. (כלומר נוצרים סופית, ומימדיהם בהתאמה). תהי ה"ל. המטריצה המייצגת של ביחס לבסיסים היא המטריצה כך שהעמודה ה־ של היא


טענה 1: קיום מטריצה יחידה

יהיו מ"ו מעל , הם בסיסים של בהתאמה.

עם מקדמים ב־ אז קיימת העתקה לינארית יחידה עבורה .


הוכחה: נסמן את המקדמים של ב־ (שורה עמודה ), כלומר .

אז אם ורק אם לכל מתקיים (כלומר רק כאשר אנחנו מכניסים אל תוך העתקה את וקטורי בסיס ).

  • כל וקטור הוא תוצאה של צירופים לינאריים של ווקטורי הבסיס של ולכן ניתן להציגו .
אם אנחנו מפעילים העתקה על וקטורי ומקבלים וקטור בתצוגה של אז

זה מתקיים אמ"מ: (לאחר הפעלה העתקה נרצה שהוקטורים החדשים יהיו שווים לצ"ל של ווקטורי בסיס C).

לפי המשפט קיום ויחידות ה"ל, קיימת יחידה עבורה אז

מש"ל.PNG


משפט 1: הכנסת ווקטור אל ההעתקה "מייצר" ווקטורים בבסיס

יהיו מ"ו מעל , הם בסיסים של בהתאמה. יהי . אז


הוכחה: נסמן אז קיים צ"ל על בסיס עבורו

בנוסף מהמטריצה (ראה הוכחה לעיל) נקבל: , כלומר

נבצע העתקה על ונקבל

  • מתכונות ה"ל, ואסוציאטיביות (החלפת סדר מחוברים)

נסמן אז מעבר בסיסים יקיים .

בנוסף


מש"ל.PNG

מסקנה: בהינתן מ"ו עם בסיס סדור , קיימת ה"ל הפיכה המוגדרת ע"ׁי . כמו כן , . ברור כי הפוכות זו לזו. . יהיו מ"ו מעל , בסיסים של .

תהי ה"ל. נסמן .



משפט 2:

נגדיר את קיום העתקה

למעשה נותר לנו רק להוכיח כי ההרכבות של העתקות שוות:

נשים לב כי וגם .

נבחר אז

והשוויון בין שני הביטויים נובע מהמשפט הקודם.