אלגברה לינארית/מטריצה מייצגת

הגדרה 1.8.1: 12 מטריצה מייצגת - מטריצת מעבר מבסיס B לבסיס C

יהיו $V, W$ מ"ו מעל $𝔽$ , $B = (v_{1}, \dots, v_{n}), C = (w_{1}, \dots, w_{m})$ הם בסיסים סדורים של $V, W$ בהתאמה. (כלומר $V, W$ נוצרים סופית, ומימדיהם $n, m$ בהתאמה). תהי $T : V \to W$ ה"ל. המטריצה המייצגת של $T$ ביחס לבסיסים $B, C$ היא המטריצה $A$ כך שהעמודה ה־ $j$ של $A$ היא $[T (v_{j})]_{C}$

טענה 1: קיום מטריצה $T$ יחידה

יהיו $V, W$ מ"ו מעל $𝔽$ , $B = (v_{1}, \dots, v_{n}), C = (w_{1}, \dots, w_{m})$ הם בסיסים של $V, W$ בהתאמה.

$A \in M_{m \times n}$ עם מקדמים ב־ $𝔽$ אז קיימת העתקה לינארית $T : V \to W$ יחידה עבורה $[T]_{C}^{B} = A$ .

הוכחה: נסמן את המקדמים של $A$ ב־ $a_{i j}$ (שורה $i$ עמודה $j$ ), כלומר $A = [\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix}]$ .

אז $[T]_{C}^{B} = A$ אם ורק אם לכל $1 \leq j \leq n$ מתקיים $[T (v_{j})]_{C} = [\begin{matrix} a_{1 j} \\ ⋮ \\ a_{m j} \end{matrix}]$ (כלומר רק כאשר אנחנו מכניסים אל תוך העתקה $T$ את וקטורי בסיס $B$ ).

כל וקטור $w \in W$ הוא תוצאה של צירופים לינאריים של ווקטורי הבסיס של $W$ ולכן ניתן להציגו $w = a_{1} w_{1} + \dots + a_{m} w_{m}$ .

אם אנחנו מפעילים העתקה על וקטורי

B

ומקבלים וקטור בתצוגה של

C

אז

[T]_{C}^{B} = A

זה מתקיים אמ"מ: $T (v_{j}) = a_{1 j} w_{1} + ... + a_{m j} w_{m}$ (לאחר הפעלה העתקה נרצה שהוקטורים החדשים יהיו שווים לצ"ל של ווקטורי בסיס C).

לפי המשפט קיום ויחידות ה"ל, קיימת $T : V \to W$ יחידה עבורה $T (v_{j}) = a_{1 j} w_{1} + \dots + a_{m j} w_{m}$ אז $[T]_{C}^{B} = A$

משפט 1: $[T]_{C}^{B} \cdot [v]_{B} = [T (v)]_{C} = A [v]_{B}$ הכנסת ווקטור $B$ אל ההעתקה "מייצר" ווקטורים בבסיס $C$

יהיו $V, W$ מ"ו מעל $𝔽$ , $B = (v_{1}, \dots, v_{n}), C = (w_{1}, \dots, w_{m})$ הם בסיסים של $V, W$ בהתאמה. יהי $v \in V$ . אז $[T]_{C}^{B} \cdot [v]_{B} = [T (v)]_{C}$

הוכחה: נסמן $[v]_{B} = [\begin{matrix} c_{1} \\ ⋮ \\ c_{n} \end{matrix}], [T]_{C}^{B} = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix})$ אז קיים צ"ל על בסיס $B$ עבורו $v = c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n} = \sum_{j = 1}^{m} n c_{j} v_{j} *$

בנוסף מהמטריצה $T$ (ראה הוכחה לעיל) נקבל: $[T (v_{j})]_{C} = [\begin{matrix} a_{i j} \\ ⋮ \\ a_{m j} \end{matrix}]$ , כלומר $[T (v_{j})]_{C} = a_{1 j} w_{1} + \dots + a_{m j} w_{m} = \sum_{i = 1}^{m} m a_{i j} w_{i}$

נבצע העתקה על $v *$ ונקבל

T (v) = T (\sum_{j = 1}^{m} n c_{j} v_{j}) = \sum_{j = 1}^{m} n c_{j} T (v_{j}) = \sum_{j = 1}^{m} n c_{j} (\sum_{j = 1}^{m} m a_{i j} w_{i}) \overset{*}{\overset{⏞}{=}} \sum_{j = 1}^{m} n \sum_{j = 1}^{m} m a_{i j} \cdot c_{j} \cdot w_{i} = \sum_{j = 1}^{m} m (\sum_{j = 1}^{m} n a_{i j} \cdot c_{j}) \cdot w_{i}

מתכונות ה"ל, ואסוציאטיביות (החלפת סדר מחוברים)

נסמן $b_{i} = \sum_{j = 1}^{m} n a_{i j} c_{j}$ אז מעבר בסיסים $[T (v_{j})]_{C} = \sum_{i = 1}^{m} m b_{i} w_{i}$ יקיים $[T (v)]_{C} = (\begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$ .

בנוסף $[T]_{C}^{B} [v]_{B} = [\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix}] [\begin{matrix} c_{1} \\ ⋮ \\ c_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}] = [T (v)]_{C}$

מסקנה: בהינתן מ"ו עם בסיס סדור $B = (v_{1}, \dots, v_{n})$ , קיימת ה"ל הפיכה $T_{B} : 𝔽^{n} \to V$ המוגדרת ע"ׁי $T_{B} [\begin{matrix} c_{1} \\ ⋮ \\ c_{n} \end{matrix}] = c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}$ . כמו כן $S_{B} (v) = [v]_{B}$ , $S_{B} : V \to 𝔽^{n}$ . ברור כי $T_{B}, S_{B}$ הפוכות זו לזו. $V \overset{S_{B}}{\overset{⏞}{\to}} 𝔽^{n}$ . $W \overset{S_{c}}{\overset{⏞}{\to}} 𝔽^{m}$ יהיו $V, W$ מ"ו מעל $𝔽$ , $B, C$ בסיסים של $V, W$ .

תהי $T : V \to W$ ה"ל. נסמן $A = [T]_{C}^{B}$ .

$T_{A} (x) = A x T_{A} : 𝔽^{n} \to 𝔽^{m}$

משפט 2: $T_{A} \circ S_{B} = S_{C} \circ T$

למעשה נותר לנו רק להוכיח כי ההרכבות של העתקות שוות:

נשים לב כי $S_{C} \circ T : V \to 𝔽^{m}$ וגם $T_{A} \circ S_{B} \to 𝔽^{m}$ .

נבחר $v \in V$ אז $(S_{C} \circ T) (v) = S_{C} (T (v)) = [T (v)]_{C}$

(T_{A} \circ S_{B}) (v) = T_{A} (S_{B} (v)) = T_{A} ([v]_{B}) = A \cdot [v]_{B} = [T]_{C}^{B} [v]_{B}

והשוויון בין שני הביטויים נובע מהמשפט הקודם.