מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
הגדרה 1: סכום של תתי מרחב הוא תת מרחב
יהיו תתי-מרחב של אזי סכום תתי המרחב תת-מרחב של .
נבדוק ע"פ הקריטריון המקוצר:
לכן ![{\displaystyle {\vec {0}}+{\vec {0}}={\vec {0}}\in U+W\Rightarrow U+W\neq \emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01080992aed88e5207adf1e223e7b1f92affd23)
- יהי
נראה ש- :
- אז
מתקיים כך ש .
- באופן מקביל קיימים
כך ש . אז ![{\displaystyle v+w=\left(v_{1}+v_{2}\right)+\left(w_{1}+w_{2}\right)=\left(v_{1}+w_{1}\right)+\left(v_{2}+w_{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71cbb070944919bf420cded3ebe0edca1b6793ac)
מאחרי ש- תתי מרחבים, הם סגורים לחיבור לכן וכן . על כן .
- סגירות לכפל - יהי
כך שקיימים כך ש אז מכיוון שמרחב וקטורי סגור לכפל בסקלר אז ו .
|
טענה 1: סכום הוא תת מרחב מינימלי של תתי המרחב שלו
משפט: הוא תת המרחב המינימלי (מבחינת הכלה) של המכיל את ואת .
הוכחה: יהי תת-מרחב של , ויהי . אזי קיימים כך ש- . כיון ש- נקבל (ע"פ הגדרת הכלה), ובגלל הסגירות לחיבור, נקבל .
לכן, ע"פ הגדרת הכלה,
|
קבוצה פורשת של סכום
[עריכה]
טענה 1: יהי מ"מ .
. נניח שיש למערכת לפחות פתרון יחיד אז הצגה פרמטרית של הפתרון שלה הוא
כלומר קבוצת הפתרונות שקולה ל- והקבוצה הפורשת שלה
|