מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
הגדרה 1: סכום של תתי מרחב הוא תת מרחב
יהיו תתי-מרחב של אזי סכום תתי המרחב תת-מרחב של .
נבדוק ע"פ הקריטריון המקוצר:
- לכן
- יהי נראה ש-:
- אז מתקיים כך ש .
- באופן מקביל קיימים כך ש . אז
מאחרי ש- תתי מרחבים, הם סגורים לחיבור לכן וכן . על כן .
- סגירות לכפל - יהי כך שקיימים כך ש אז מכיוון שמרחב וקטורי סגור לכפל בסקלר אז ו.
|
טענה 1: סכום הוא תת מרחב מינימלי של תתי המרחב שלו
משפט: הוא תת המרחב המינימלי (מבחינת הכלה) של המכיל את ואת .
הוכחה: יהי תת-מרחב של , ויהי . אזי קיימים כך ש- . כיון ש- נקבל (ע"פ הגדרת הכלה), ובגלל הסגירות לחיבור, נקבל .
לכן, ע"פ הגדרת הכלה,
|
קבוצה פורשת של סכום
[עריכה]
טענה 1: יהי מ"מ .
. נניח שיש למערכת לפחות פתרון יחיד אז הצגה פרמטרית של הפתרון שלה הוא
כלומר קבוצת הפתרונות שקולה ל- והקבוצה הפורשת שלה
|