אלגברה לינארית/סכום של תתי מרחב

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הגדרה 2: סכום של תתי מרחב

יהי מרחב ווקטורי ו- תתי-קבוצות של . הסכום של ו מוגדר ע"י



דוגמה 1: שימוש בנגזרות להוכחת זהויות

ויהי ו- אז


הגדרה 1: סכום של תתי מרחב הוא תת מרחב

יהיו תתי-מרחב של אזי סכום תתי המרחב תת-מרחב של .

נבדוק ע"פ הקריטריון המקוצר:

  • לכן
  • יהי נראה ש-:
אז מתקיים כך ש .
באופן מקביל קיימים כך ש . אז

מאחרי ש- תתי מרחבים, הם סגורים לחיבור לכן וכן . על כן .

  • סגירות לכפל - יהי כך שקיימים כך ש אז מכיוון שמרחב וקטורי סגור לכפל בסקלר אז ו.


טענה 1: סכום הוא תת מרחב מינימלי של תתי המרחב שלו

משפט: הוא תת המרחב המינימלי (מבחינת הכלה) של המכיל את ואת .

הוכחה: יהי תת-מרחב של , ויהי . אזי קיימים כך ש- . כיון ש- נקבל (ע"פ הגדרת הכלה), ובגלל הסגירות לחיבור, נקבל .

לכן, ע"פ הגדרת הכלה,

קבוצה פורשת של סכום[עריכה]

טענה 1: יהי מ"מ . . נניח שיש למערכת לפחות פתרון יחיד אז הצגה פרמטרית של הפתרון שלה הוא כלומר קבוצת הפתרונות שקולה ל- והקבוצה הפורשת שלה



דוגמה 1: קבוצה פורשת של סכום

נמצא את תת הקבוצה הפורשת של שקבוצת הפתרונות שלה הינה:

נפתור את המערכת: ולכן אוסף הפתרונות של המערכת אז הקבוצה הפורשת את קבוצת הפתרונות היא