בשלב זה אנו מכניסים וקטור מבסיס B אך יכולים לבצע רק שלב אחד. מכיוון שני אנחנו מציבים את
[
t
(
v
)
]
c
{\displaystyle [t(v)]_{c}}
נמצא מטריצת העתקה
[
T
(
v
)
]
C
=
[
T
]
c
b
∗
[
v
]
b
{\displaystyle [T(v)]_{C}={\color {red}[T]_{c}^{b}}*[v]_{b}}
נתון:
בסיס של
R
2
{\displaystyle R^{2}}
B
=
(
v
1
,
v
2
)
=
{
[
1
1
]
,
[
2
1
]
}
{\displaystyle B=(v_{1},v_{2})={\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}2\\1\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}}
מטריצה מייצגת:
[
T
]
B
E
=
{
[
1
0
5
−
1
]
}
{\displaystyle [T]_{B}^{E}={\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}1&0\\5&-1\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}}
מצא את
[
T
A
]
E
B
{\displaystyle [T_{A}]_{E}^{B}}
פתרון:
נתון כי
[
T
]
B
E
=
{
[
1
0
5
−
1
]
}
{\displaystyle [T]_{B}^{E}={\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}1&0\\5&-1\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}}
על כן
[
T
(
v
1
)
]
B
E
=
{
[
0
−
1
]
}
{\displaystyle [T(v_{1})]_{B}^{E}={\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}}
[
T
(
v
2
)
]
B
E
=
{
[
1
5
]
}
{\displaystyle [T(v_{2})]_{B}^{E}={\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}1\\5\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}}
מכיוון שני, נתונה לנו מטריצה מייצגת,
[
T
]
B
E
=
{
[
1
0
5
−
1
]
}
{\displaystyle [T]_{B}^{E}={\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}1&0\\5&-1\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}}
B
=
{
[
1
1
]
,
[
2
1
]
}
{\displaystyle B={\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}2\\1\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}}
על כן נוכל לבצע את הפעולה ההפוכה, במקום למצוא את המקדמים
a
,
b
{\displaystyle a,b}
T
(
v
c
)
{\displaystyle T(v_{c})}
T
[
1
0
]
=
1
∗
[
1
1
]
+
5
∗
[
2
1
]
=
[
1
1
]
+
[
10
5
]
=
[
11
6
]
{\displaystyle T[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}]=1*\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right]+5*\left[{\begin{matrix}2\\1\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}10\\5\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}11\\6\end{matrix}}\right]}
T
(
0
1
)
=
1
∗
[
0
1
]
+
5
∗
[
−
1
1
]
=
[
1
0
]
+
[
5
5
−
]
=
[
6
−
5
]
{\displaystyle T({\begin{matrix}0\\1\end{matrix}})=1*\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]+5*\left[{\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}5\\5-\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}}\right]}
לאחר מכן אנו יודעים כי העתקה בצעה מעבר בין בסיסים בעת העתקה. נוכל לשחזר את מטריצת המעבר באמצעות הכפלה של ווקטורי הבסיס שבו נמצא הווקטור שלנו, בסיס
e
{\displaystyle e}
[
a
c
b
c
]
[
1
0
]
=
[
11
6
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}a&c\\b&c\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}11\\6\end{matrix}}\right]}
[
a
c
b
c
]
[
1
0
]
=
[
6
−
5
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}a&c\\b&c\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}}\right]}
נפתור את מערכת המשוואות:
a
=
11
b
=
6
c
=
x
d
=
y
{\displaystyle {\begin{aligned}a=11b=6c=xd=y\end{aligned}}}
נבטא את המטריצה
[
11
6
x
y
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}11&6\\x&y\end{matrix}}\right]}
![{\displaystyle [t(v)]_{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27e100f32154f9572ffaada0e3c86243cb30a2cc)
![{\displaystyle [T(v)]_{C}={\color {red}[T]_{c}^{b}}*[v]_{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59436318679d87191063b6c66ab6774720146712)
![{\displaystyle B=(v_{1},v_{2})={\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}2\\1\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a092d32718b5d2b3675110fe4841b8ce74a6acb)
![{\displaystyle [T]_{B}^{E}={\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}1&0\\5&-1\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d336d3332d8213535c9654a8ca4a386487ec6441)
![{\displaystyle [T_{A}]_{E}^{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87389ba5485dfa3584422872b1821de95c9f8cb)
![{\displaystyle [T(v_{1})]_{B}^{E}={\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5c8a7c95207ad5768db9bb786e170d8518229a9)
![{\displaystyle [T(v_{2})]_{B}^{E}={\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}1\\5\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591256adef94c4c516c961606747d8955fcefe87)
![{\displaystyle B={\Biggl \{}\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}2\\1\end{matrix}}\right]{\Biggl \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3db9013b4e616e7ec6b22c136c0fb79e2c84bc98)
![{\displaystyle T[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}]=1*\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right]+5*\left[{\begin{matrix}2\\1\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}10\\5\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}11\\6\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac609748433fc629a9ec8f3ef74845ae6d684f0)
![{\displaystyle T({\begin{matrix}0\\1\end{matrix}})=1*\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]+5*\left[{\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}5\\5-\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2491d79295a0b4a64c525ac4ea963c669c5cf31e)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}a&c\\b&c\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}11\\6\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ffa6a92aba9fa24128417f32f7ea1395deffcb1)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}a&c\\b&c\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d9d895a219e99911fb3346f62458a31b4068ac0)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}11&6\\x&y\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08e5a11721149382779d3bff562b600528ba420)