אלגברה לינארית/צירוף לינארי לא טריוואלי

הגדרה 1: צירוף ליניארי לא טריוויאלי צירוף ליניארי $c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}$ של $v_{1},..,v_{n}$ נקרא לא טריוויאלי כאשר קיים $1\leq i\leq n$ כך ש-$c_{i}\neq 0$

משפט 1: ערך צירוף לינארי יכול להיות שווה אפס יהי $v_{1}=\left(0,0\right)$ ו-$v_{2}=\left(1,0\right)$ אז $c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}=1\cdot \left(0,0\right)+0\cdot \left(1,0\right)=\left(0,0\right)$

טענה 1: $V$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$ ו-$S\subseteq V$. $S$ תלויה ליניארית אמ"מ קיים צירוף ליניארי לא טריוויאלי $c_{1}v_{1}+..+c_{n}v_{n}=0$ כאשר $v_{1},..,v_{n}\in S$ וגם $c_{1},..,c_{n}\in \mathbb {F}$ מכיוון ראשון: צ"ל $S$ תלויה אזי קיים צירוף לינארית לא טריוולי נתון כי $S$ ת"ל. לכן קיימים $v_{1},..,v_{n}\in S$ כך ש-$v=c_{1}v_{1}+..+c_{n}v_{n}$. כך ש-$c_{1},..,c_{n}\in \mathbb {F}$. נעביר אגפים את הוקטורים: $c_{1}v_{1}+..+c_{n}v_{n}-1\cdot v=0$ אז $c_{n+1}=-1$ הוא מקדם שבוודאות שונה מאפס. לכן מצאנו צירוף ליניארי לא טריוויאלי (של $n+1$ וקטורים, כאשר $c_{n+1}\neq 0$) ששווה לאפס. מכיוון שני : נניח כי קיים ב-$S$ צירוף ליניארי לא טריוויאלי כלומר שמתקיים $c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}=0$. נוכיח כי $S$ תלויה ליניארית. מאחר שהצירוף $c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}=0$ לא טריוולי אז קיים $1\leq i\leq n$ כך שהסקלר $c_{i}\neq 0$. נעביר אגפים את כל יתר הווקטורים והסקלרים כך שמתקיים: $c_{i}v_{i}=-\left(c_{1}v_{1}+..+c_{i-1}v_{i-1}+c_{i+1}v_{i+1}+..+c_{n}v_{n}\right)c_{i}\neq 0$ ולכן נוכל לחלק בו : $v_{i}=-\left({\frac {c_{1}v_{1}}{c_{i}}}+..+{\frac {c_{i-1}v_{i-1}}{c_{i}}}+{\frac {c_{i+1}v_{i+1}}{c_{i}}}+..+{\frac {c_{n}v_{n}}{c_{i}}}\right)$ ולכן $v_{i}\in {\text{span}}\left(\left\{v_{1},..,v_{i-1},v_{i+1},..,v_{n}\right\}\right)={\text{span}}\left(S\backslash \left\{v_{i}\right\}\right)$. ולכן $S$ תלויה ליניארית.

טענה 2: מערכת משוואות תלויה לינארית: $V=\mathbb {F} ^{n}$, ו-$S=\left\{v_{1},..,v_{k}\right\}$ תת קבוצה של $\mathbb {F} ^{n}$ כאשר $v_{i}\neq v_{j}$ לכל $i\neq j$. $A\in M_{n\times k}$ כך שהעמודה ה-$i$ של $A$ היא $v_{i}$. $S$ תלויה ליניארית אם ורק אם למערכת המשוואות $Ax=0$ קיים פתרון לא טריוויאלי. נניח שלמערכת המשוואות $Ax=0$ קיים יותר מפתרון אחד. לכן קיים ${\begin{bmatrix}0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}\neq x={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{k}\end{bmatrix}}\in \mathbb {F} ^{k}$ אז $c_{1}v_{1}+...+c_{k}v_{k}=A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{k}\end{bmatrix}}=0\in \mathbb {F} ^{n}$ כלומר קיבלנו צירוף ליניארי לא טריוויאלי אשר שווה לוקטור אפס ולכן $S$ תלויה ליניארית. נניח כי $S$ תלויה ליניארית. אז קיימים $c_{1},..,c_{k}\in \mathbb {F}$ (לא כולם אפסים), כך ש-$c_{1}v_{1}+..+c_{k}v_{k}=0$.מכאן $A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{k}\end{bmatrix}}=0\in \mathbb {F} ^{n}$ ולכן הוקטור ${\begin{bmatrix}0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}\neq x={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{k}\end{bmatrix}}\in \mathbb {F} ^{k}$ הוא פתרון של מערכת המשוואות $Ax=0$.בנוסף גם וקטור ${\begin{bmatrix}0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}\in \mathbb {F} ^{k}$ הוא פתרון של המערכת $Ax=0$, ולכן למערכת יש יותר מפתרון אחד

דוגמה 2: מערכת משוואות תלויה לינארית (עבור טענה 2) $\left[{\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&2\\-1&0&1\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&2\\0&0&0\end{array}}\right]$ המטריצה הריבועית מכילה שורת אפסים ולכן לא הפיכה, כלומר יש פתרון לא טריוולי (תלוי לינארית) למ"מ.

טענה 3: מטריצה מייצגת קבוצה בת"ל אם"ם קיים פתרון יחיד לה: אם $V=\mathbb {F} ^{n}$, ו-$S=\left\{v_{1},..,v_{k}\right\}$ תת קבוצה של $\mathbb {F} ^{n}$, ו-$A$ מטריצה $n\times k$ כך שהעמודה ה $i$ של $A$ היא $v_{1}$.אז $S$ בת"ל אם ורק אם למ"מ $Ax=0$ קיים בדיוק פתרון אחד

דוגמה 3: מטריצה מייצגת קב' בת"ל כאשר יש פתרון יחיד $V=\mathbb {F} ^{n}$ ו$S=\left\{e_{1},...,e_{n}\right\}$ . לפי הטענה המטריצה מ-$S$ היא $I_{n}$, ולמערכת $I_{n}x=0$ יש פתרון יחיד.

דוגמה 3: נדגים על ההטורים הפורמליים $V=\mathbb {F} \left[\left[x\right]\right]$ שתבניתם $a_{0}+a_{1}x+..+a_{n}x^{n}$, אז עבור הקבוצה $S=\left\{1,x,x^{2},x^{3}...\right\}$ קבוצה אינסופית של טורים אינסופיים (ניתן לייצג כל אחד כטור פורמלי למשל את $x^{2}=0+0x+1x^{2}+0x^{3}\dots$) נוכיח כי אינה ת"ל: יהיו $i_{1}<i_{2}<...<i_{n}$ ו- $x^{i1},x^{i2},..,x^{in}$ , $n$-איברים שונים ב-$S$ . יהי $c_{1}x^{i}+c_{2}x^{i2}+c_{n}x^{in}$ צירוף ליניארי לא טריוויאלי של האיברים האלה. כלומר קיים $1\leq i\leq n$ כך ש $c_{i}\neq 0$ . ביטוי זה, $c_{1}x^{i}+c_{2}x^{i2}+c_{n}x^{in}$, הינו טור פורמלי שונה מטור האפס לכן $S$ בת"ל.

דוגמה 3.2: יהי $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ מ"ו מעל $\mathbb {R}$. תת הקבוצה של $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ מוגדר על ידי $U={\text{span}}(x,x^{3})$ עבור $c\in \mathbb {R}$ נגדיר את הפונקציונל $l_{c}:R\rightarrow \mathbb {R}$ באופן הבא $l_{c}(f)=f(c)$ לכל $f\in U$. האם קיימים $a,b\in \mathbb {R}$ כך ש-הפענוח נכשל (שגיאת תחביר): {\displaystyle \left { l_a,l_b \right }} תלויה לינארית ? $a\neq b\neq 0$

טענה 4: יהי $v$ מ"ו מעל $\mathbb {F}$ וגם $w_{1},...,w_{n},u_{1},...,u_{k}\in V$. אם הקבוצה $\{u_{1},...,u_{n}\}$ פורשת את $V$ וגם $k<n$ אזי $\{w_{1},...,w_{n}\}$ תלויה לינארית. נתון כי $\{u_{1},...,u_{k}\}$ פורשת את $V$ לכן מתקיים, $c_{1}u_{1}+...+c_{n}u_{n}-1v=0$ כיוון ראשון, אם $\{u_{1},...,u_{k}\}$ תלויה לינארית אזי קיים צירוף לינארי לא טירוולי כך שלפחות $c\neq 0$ אחד. מאחר ש-$\{u_{1},...,u_{k}\}\subset \{w_{1},...,w_{n}\}$, לפי משפט שהוכחנו, אם $s_{1},s_{2}$ תת קבוצות של $V$ כך ש-$s_{1}\subset s_{2}$ ו-$s_{1}$ ת"ל אז $s_{2}$ גם ת"ל, על כן $\{w_{1},...,w_{n}\}$ תלויה בעצמה. כיוון שני, אם $\{u_{1},...,u_{\text{k}}\}$ בת"ל ונתון כי פורשת את $V$. מתקיים $w_{1},..,w_{n}\in {\text{span}}\left(\left\{v_{1},..,v_{k}\right\}\right)$. נוכיח כי אם קיים קבוצה של $\{u_{1},...,u_{\text{k}}\}$ בת"ל אזי $\{u_{1},...,u_{n},w\}$ ת"ל: הוכחה הבאה.

טענה 3: יהי $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb {F}$, והוקטורים $v_{1},..,v_{n}\in V$, בנוסף נתונים הוקטורים $w_{1},..,w_{k}\in {\text{span}}\left(\left\{v_{1},..,v_{n}\right\}\right)$ כך ש-$k>n$ (מספר הוקטורים בקבוצה של $w$ גדול ממספר הוקטורים בקבוצה של $v$) אז $\left\{w_{1},..,w_{k}\right\}$ תלויה ליניארית. ניצור צירוף ליניארי לא טריוויאלי מ-$\left\{w_{1},..,w_{k}\right\}$ אשר שווה לוקטור אפס : מאחר ולכל $1\leq j\leq k$ מתקיים $w_{i}\in {\text{span}}\left(\left\{v_{1},..,v_{n}\right\}\right)$ אזי לכל $1\leq j\leq k$ קיימים $a_{1j},a_{2j},..,a_{nj}\in \mathbb {F}$ כך ש-$w_{j}=a_{1j}v_{1}+...+a_{nj}v_{n}$ סה"כ קיבלנו $k$ צירופים ליניאריים. נסמן ב$A\in M_{k\times n}$ משוואות, $n$ מחוברים (כך שבשורה ה-$i$ ובעמודה ה-$j$ מופיעים האיבר $a_{ij}$). ${\begin{aligned}w_{1}=a_{11}v_{1}+...+a_{n1}v_{n}\\w_{2}=a_{12}v_{1}+...+a_{n2}v_{n}\\\dots \\w_{k}=a_{1j}v_{1}+...+a_{kj}v_{n}\\\end{aligned}}$ מאחר ש $n<k$ , מספר השורות המטריצה קטן ממספר העמודות, למערכת המשוואות ההומוגנית $Ax=0$ קיים פתרון לא טריוויאלי: ${\begin{bmatrix}0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}\neq x={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{k}\end{bmatrix}}\in \mathbb {F} ^{k}$ $c_{1}w_{1}+...+c_{k}w_{k}=\sum _{j=1}^{k}c_{j}w_{j}=\sum {j=1}kc_{j}\cdot \sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\overbrace {=} ^{*}\underbrace {\sum _{j=1}^{k}} _{\text{k times}}\sum _{i=1}^{n}c_{j}a_{ij}v_{i}\overbrace {=} ^{**}\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot c_{j}\right)v_{i}\overbrace {=} ^{***}\left(\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot c_{j}\right)v_{1}+...+\left(\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot c_{j}\right)v_{n}\overbrace {=} ^{****}0\cdot v_{1}+..+0\cdot v_{n}=0$ * ישנם סה"כ $n\cdot k$ מחוברים. לפי קוממטיביות בשדה - אין חשיבות לסדר של הסיגמות או האיברים. ** מה שבסוגרים נותר הוא מערכת המשוואות ששווה לאפס: $Ax=0$ *** פיתוח של $\sum _{i=1}^{n}v_{i}*\left(\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot c_{j}\right)$ **** כל שורה כזו היא פתרון של מערכת המשוואות הומוגנית מכאן $\left\{w_{1},..,w_{k}\right\}$ תלויה ליניארית.