אלגברה לינארית/צירוף לינארי לא טריוואלי

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הגדרה 1: צירוף ליניארי לא טריוויאלי

צירוף ליניארי של נקרא לא טריוויאלי כאשר קיים כך ש-



משפט 1: ערך צירוף לינארי יכול להיות שווה אפס

יהי ו- אז


טענה 1: מ"ו מעל ו-. תלויה ליניארית אמ"מ קיים צירוף ליניארי לא טריוויאלי כאשר וגם

מכיוון ראשון: צ"ל תלויה אזי קיים צירוף לינארית לא טריוולי

נתון כי ת"ל. לכן קיימים כך ש-. כך ש-. נעביר אגפים את הוקטורים: אז הוא מקדם שבוודאות שונה מאפס. לכן מצאנו צירוף ליניארי לא טריוויאלי (של וקטורים, כאשר ) ששווה לאפס.

מכיוון שני : נניח כי קיים ב- צירוף ליניארי לא טריוויאלי כלומר שמתקיים . נוכיח כי תלויה ליניארית. מאחר שהצירוף לא טריוולי אז קיים כך שהסקלר . נעביר אגפים את כל יתר הווקטורים והסקלרים כך שמתקיים: ולכן נוכל לחלק בו : ולכן . ולכן תלויה ליניארית.


טענה 2: מערכת משוואות תלויה לינארית: , ו- תת קבוצה של כאשר לכל . כך שהעמודה ה- של היא . תלויה ליניארית אם ורק אם למערכת המשוואות קיים פתרון לא טריוויאלי.

נניח שלמערכת המשוואות קיים יותר מפתרון אחד. לכן קיים אז כלומר קיבלנו צירוף ליניארי לא טריוויאלי אשר שווה לוקטור אפס ולכן תלויה ליניארית.

נניח כי תלויה ליניארית. אז קיימים (לא כולם אפסים), כך ש-.מכאן ולכן הוקטור הוא פתרון של מערכת המשוואות .בנוסף גם וקטור הוא פתרון של המערכת , ולכן למערכת יש יותר מפתרון אחד



דוגמה 2: מערכת משוואות תלויה לינארית (עבור טענה 2)

המטריצה הריבועית מכילה שורת אפסים ולכן לא הפיכה, כלומר יש פתרון לא טריוולי (תלוי לינארית) למ"מ.


טענה 3: מטריצה מייצגת קבוצה בת"ל אם"ם קיים פתרון יחיד לה: אם , ו- תת קבוצה של , ו- מטריצה כך שהעמודה ה של היא .אז בת"ל אם ורק אם למ"מ קיים בדיוק פתרון אחד



דוגמה 3: מטריצה מייצגת קב' בת"ל כאשר יש פתרון יחיד

ו . לפי הטענה המטריצה מ- היא , ולמערכת יש פתרון יחיד.



דוגמה 3:

נדגים על ההטורים הפורמליים שתבניתם , אז עבור הקבוצה קבוצה אינסופית של טורים אינסופיים (ניתן לייצג כל אחד כטור פורמלי למשל את ) נוכיח כי אינה ת"ל:

יהיו ו- , -איברים שונים ב- .

יהי צירוף ליניארי לא טריוויאלי של האיברים האלה. כלומר קיים כך ש .

ביטוי זה, , הינו טור פורמלי שונה מטור האפס לכן בת"ל.



דוגמה 3.2:

יהי מ"ו מעל . תת הקבוצה של מוגדר על ידי עבור נגדיר את הפונקציונל באופן הבא לכל . האם קיימים כך ש-הפענוח נכשל (שגיאת תחביר): {\displaystyle \left { l_a,l_b \right }} תלויה לינארית ?



טענה 4: יהי מ"ו מעל וגם . אם הקבוצה פורשת את וגם אזי תלויה לינארית.

נתון כי פורשת את לכן מתקיים,

כיוון ראשון, אם תלויה לינארית אזי קיים צירוף לינארי לא טירוולי כך שלפחות אחד.

מאחר ש-, לפי משפט שהוכחנו, אם תת קבוצות של כך ש- ו- ת"ל אז גם ת"ל, על כן תלויה בעצמה.

כיוון שני, אם בת"ל ונתון כי פורשת את . מתקיים .

נוכיח כי אם קיים קבוצה של בת"ל אזי ת"ל: הוכחה הבאה.


טענה 3: יהי מרחב וקטורי מעל , והוקטורים , בנוסף נתונים הוקטורים כך ש- (מספר הוקטורים בקבוצה של גדול ממספר הוקטורים בקבוצה של ) אז תלויה ליניארית.

ניצור צירוף ליניארי לא טריוויאלי מ- אשר שווה לוקטור אפס :

מאחר ולכל מתקיים אזי לכל קיימים כך ש-

סה"כ קיבלנו צירופים ליניאריים.

נסמן ב משוואות, מחוברים (כך שבשורה ה- ובעמודה ה- מופיעים האיבר ).

מאחר ש , מספר השורות המטריצה קטן ממספר העמודות, למערכת המשוואות ההומוגנית קיים פתרון לא טריוויאלי:


* ישנם סה"כ  מחוברים. לפי קוממטיביות בשדה - אין חשיבות לסדר של הסיגמות או האיברים.
** מה שבסוגרים נותר הוא מערכת המשוואות ששווה לאפס: 
*** פיתוח של 
**** כל שורה כזו היא פתרון של מערכת המשוואות הומוגנית 

מכאן תלויה ליניארית.