אלגברה לינארית/בסיס
בסיס
[עריכה]
הגדרה 1: בסיס יהי מ"ו מעל ו- תת קבוצה של . תיקרא בסיס של אם ורק אם היא :
|
דוגמה 1: בסיסים שונים של |
מציאת בסיס
[עריכה]
טענה 2.72: נתונה מטריצה מדורגת מצומצמת כאשר קבוצת הפתרונות של מ"מ אז היא בסיס של . |
דוגמה 7.2: check up!! נתבונן ב- כמ"ו מעל נגדיר אזי הבסיס: נמצא בסיס ל- כאשר . נדרג לפי עמודות : מאחר והאיברים המובילים מופיעים בעמודות הראשונה והשנייה, נקבל ש היא בסיס ל- (וה-). |
בסיס סופי
[עריכה]
הגדרה 2: בסיס סופי מ"ו נקרא נוצר סופית כאשר קיימת תת-קבוצה סופית של כך ש בסיס של |
טענה 3: יהיה מ"ו, בסיס של . תת-קבוצה של כך ש - בסיס של אז מס' האיברים ב- שווה ל-. נניח בשלילה כי מס' האיברים ב- גדול מ- : כלומר : יהיו איברים שונים מ : לכל מתקיים ש . אז לפי משפט שהראינו ולכן תלויה ליניארית. לכן מתקיים . כעת נניח בשלילה כי מס' האיברים ב שווה ל כך ש : נשתמש באותו משפט רק באופן הפוך. אז אז לכל מתקיים - מכיוון ש בסיס. אז מכיוון ש אז תלויה ליניארית, סתירה לכך שהיא בסיס. |
גודל הבסיס
[עריכה]משפט: יהיו בסיסים ל- , אזי .
הוכחה: תהי פורשת סופית ל- , אזי , ולכן סופיות
פורשת סופית ו- בת"ל, לכן , באופן דומה, . לכן,