אלגברה לינארית/בסיס

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בסיס[עריכה]

הגדרה 1: בסיס

יהי מ"ו מעל ו- תת קבוצה של .

תיקרא בסיס של אם ורק אם היא :

  1. בת"ל
  2. פורשת את .



דוגמה 1: בסיסים שונים של


מציאת בסיס[עריכה]

טענה 2.72: נתונה מטריצה מדורגת מצומצמת כאשר קבוצת הפתרונות של מ"מ אז היא בסיס של .


דוגמה 7.2: check up!!

נתבונן ב- כמ"ו מעל נגדיר אזי הבסיס:

נמצא בסיס ל- כאשר .

נדרג לפי עמודות :

מאחר והאיברים המובילים מופיעים בעמודות הראשונה והשנייה, נקבל ש היא בסיס ל- (וה-).


בסיס סופי[עריכה]

הגדרה 2: בסיס סופי

מ"ו נקרא נוצר סופית כאשר קיימת תת-קבוצה סופית של כך ש בסיס של


טענה 3: יהיה מ"ו, בסיס של . תת-קבוצה של כך ש - בסיס של אז מס' האיברים ב- שווה ל-.

נניח בשלילה כי מס' האיברים ב- גדול מ- : כלומר :

יהיו איברים שונים מ : לכל מתקיים ש .

אז לפי משפט שהראינו ולכן תלויה ליניארית.

לכן מתקיים .

כעת נניח בשלילה כי מס' האיברים ב שווה ל כך ש :

נשתמש באותו משפט רק באופן הפוך. אז אז לכל מתקיים - מכיוון ש בסיס.

אז מכיוון ש אז תלויה ליניארית, סתירה לכך שהיא בסיס.

גודל הבסיס[עריכה]

משפט: יהיו בסיסים ל- , אזי .

הוכחה: תהי פורשת סופית ל- , אזי , ולכן סופיות

פורשת סופית ו- בת"ל, לכן , באופן דומה, . לכן,