אלגברה לינארית/השלמת קבוצה בת"ל כך שתפרוש את המרחב

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

השלמה לבסיס[עריכה]

השלמת בסיס פירושו שאם קיימים לנו מספר ווקטורים הפורשים חלקית את המרחב, נרצה למצוא את יתר הווקטורים החסרים כך שיחדיו כל קבוצת הווקטורים תפרוש את כל המרחב ותהווה בסיס. לדוג' פורש חלקית את מרחב . יחד עם הם יהוו בסיס. בדוגמה הנוכחית קל היה למצוא את הווקטור החסר לפרישת כל המרחב. כיצד מוצאים את הווקטורים החסרים להשלמה לבסיס במקרים מורכבים?


מסקנה:כל קבוצה בת"ל של איברים מ ניתן להשלים לבסיס ע"י וקטורים מהקבוצה .

הוכחה דרך 2[עריכה]

משפט: כל קבוצה פורשת מכילה בסיס, וכל קבוצה בת"ל מוכלת בבסיס. (בשני המקרים, הכוונה שקיים בסיס כזה)



הצגה לפי בסיס[עריכה]

יחידות ההצגה[עריכה]

משפט: תהי . בסיס ל- אמ"מ לכל יש הצגה יחידה כצ"ל של .



ההצגה[עריכה]

יהי בסיס סדור ל- , ויהי . תהי ההצגה היחידה של כצ"ל של .

ההצגה של לפי תוגדר להיות: (כלומר, וקטור עמודה)

פעולות[עריכה]

נגדיר חיבור וקטורי עמודה, וכפל בסקלר, בדרך הטריוויאלית - אבר אבר.

יהי בסיס סדור ל- , ויהיו . אזי .

הוכחה: נציג את כצ"ל של  : , נקבל: