אלגברה לינארית/מטריצת מעבר

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

משמעות של מטריצה[עריכה]

ווקטורי בסיס יכולים להיות ב"צורתן המינמלית, דהינו בערכי של הבסיס או לחילופין, לפי ערכם של בסיסים אחרים , , ועוד .

מטריצת המעבר אומרת לנו בכמה סקלרים יש לכפול את הווקטורים שלנו מבסיס A בכדי לקבל את אותם הווקטורים בבסיס B.

במילים אחרות, מטריצת המעבר אומרת לנו את יחס הווקטור אל וקטור קואורדינטות.

הגדרה[עריכה]

מטריצת מעבר בין בסיסים[עריכה]

יהיו בסיסים של מ"ו . נגדיר את מטריצת המעבר בין הבסיס לבסיס להיות כך שמתקיים לכל וקטור: . כלומר, כפל המטריצה בוקטור הקואורדינאטות (ווקטור ההצגה) לפי בסיס , יתן את וקטור הקואורדינאטות (וקטור ההצגה) לפי בסיס .
טענה: אם אז המטריצה היא מטריצת המעבר בין ל- והיא גם המטריצה היחידה.

נהוג לסמן את מטריצת המעבר מבסיס לבסיס בסימון:

[עריכה]

מטריצת המעבר, אם כן, מבצעת את הפעולה:

ובמילים, לוקחים מווקטור מבסיס , אל המטריצה שלנו (). מפעילים עליו את המטריצה שמעבירה אותו לבסיס , , ומקבלים את הווקטור בסיס , [v]_C.

[עריכה]

מהנוסחה ניתן להסיק את הנוסחה הכוללת: לכל שלושה בסיסים מתקיים