אלגברה לינארית/מציאת מטריצה דומה

מציאת מטריצה דומה בצורה מיוחדת

ליכסון

מטריצה A תיקרא "לכסינה" אם קיימת D אלכסונית שדומה לה.
משפט: A לכסינה אם ורק אם קיים בסיס של $\mathbb {F} ^{n}$ המורכב כולו מוקטורים עצמיים של A.

הוכחה

תזכורת: וקטור $e_{i}$ הוא וקטור שבכל מקום יש בו אפס, חוץ מהמקום ה- i שם יש בו 1. לדוגמא, ב- $\mathbb {R} ^{4}$ מתקיים ש- $e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}$ . מתקיים ש- $A\cdot e_{i}$ זהו וקטור העמודה ה-iית של A.
מימין לשמאל:
נניח A לכסינה. אזי קיימת P הפיכה כך ש- $D=P^{-1}AP$ כאשר D מטריצה אלכסונית.
יהי $i\in \{1,2,\dots ,n\}$. אז $D\cdot e_{i}=P^{-1}AP\cdot e_{i}$ . נכפול ב-P משמאל ונקבל: $PDe_{i}=APe_{i}$ .
נסמן את אברי D באופן הבא:
$D={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}$ . אז מתקיים ש- $D\cdot e_{i}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\\lambda _{i}\\\vdots \\0\end{pmatrix}}=\lambda _{i}\cdot e_{i}$ (זה נובע מהתכונה של כפל מטריצה ב-$e_{i}$)
נחזור למשוואה: $PDe_{i}=APe_{i}$. ממה שהרגע עשינו נקבל: $P\cdot \lambda _{i}e_{i}=APe_{i}$ קיבלנו ש- $A(Pe_{i})=\lambda _{i}(Pe_{i})$ ונזכור ש- $Pe_{i}$ זהו וקטור העמודה ה-i-ית של P שבהכרח שונה מ-0 כי P הפיכה ולכן נקבל ש- $Pe_{i}$ וקטור עצמי של A. זה מתקיים לכל i ולכן כל העמודות של המטריצה P הן ו"ע של A וגם כיון ש-P הפיכה, הן מהוות בסיס ל- $\mathbb {F} ^{n}$ (כי הדרגה של P הוא n). קיבלנו מההנחה ש-A לכסינה שקיים בסיס של המרחב שכולו מורכב מוקטורים עצמיים.
משמאל לימין:
נניח שקיים בסיס למרחב שכולו מורכב מוקטורים עצמיים של A. נסמן אותו $\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\}$ . נסתכל על המטריצה $P$ שעמודותיה הן וקטורי הבסיס עצמן ונחשב את $P^{-1}AP$. מכפל עמודה-עמודה מתקיים שזה שווה ל- $P^{-1}(Av_{1},Av_{2},\dots ,Av_{n})$ כאשר $(Av_{1},Av_{2},\dots ,Av_{n})$ זוהי מטריצה שעמודותיה הן הוקטורים $Av_{1},Av_{2},\dots ,Av_{n}$. נזכור ש- $\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\}$ זה קבוצה של וקטורים עצמיים ולכן נקבל: $P^{-1}AP=P^{-1}(Av_{1},Av_{2},\dots ,Av_{n})=P^{-1}(\lambda _{1}v_{1},\lambda _{2}v_{2},\dots ,\lambda _{n}v_{n})=(P^{-1}\lambda _{1}v_{1},P^{-1}\lambda _{2}v_{2},\dots ,P^{-1}\lambda _{n}v_{n})$
מתוך התכונה ש- $A\cdot e_{i}=v_{i}$ כאשר $v_{i}$ זה עמודה i-ית של A, אז מתקיים ש- $A^{-1}v_{i}=e_{i}$ (שוב, כאשר v_i זה עמודה i-ית של A). נחזור למשוואה ונקבל:
$(P^{-1}\lambda _{1}v_{1},P^{-1}\lambda _{2}v_{2},\dots ,P^{-1}\lambda _{n}v_{n})=(\lambda _{1}P^{-1}v_{1},\dots ,\lambda _{n}P^{-1}v_{n})=(\lambda _{1}e_{1},\dots ,\lambda _{n}e_{n})=$
${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}$ ולכן קיבלנו מההנחה שקיים בסיס של המרחב שמורכב כולו מוקטורים עצמיים שיש מטריצה אלכסונית שדומה לה.

מתוך ההוכחה נסיק: המטריצה המלכסנת P היא המטריצה בה עמודותיה הן וקטורים עצמיים של A שביחד מהווים בסיס למרחב. כמו כן, על המטריצה האלכסונית שדומה ל-A מופיעים באלכסון הערכים העצמיים של A, וסדר העמודות של המטריצה P (מהמובן של הדרכים לסדר אותם) יקבע את הסדר של הערכים העצמיים על האלכסון.

כמו כן אפשר להבין שאם למטריצה A יש n ע"ע שונים אזי היא לכסינה, פשוט כי אם נתבונן בקבוצה של n וקטורים עצמיים שכל אחד מהם קשור לערך עצמי אחר, היא בת"ל ולפי משפט השלישי חינם, היא בסיס. לכן קיים בסיס של המרחב שמורכב כולו מוקטורים עצמיים של A ולכן לכסינה.

משפט: A לכסינה אם ורק אם לכל ערך עצמי $\lambda$ יתקיים $m_{\lambda }=k_{\lambda }$ (הריבוי האלגברי והגאומטרי שווים)

חשיבות הליכסון

אחד השימושים הטובים של ליכסון זה חישוב חזקות גבוהות של מטריצה. נראה כי מתקיים שאם $A=P^{-1}DP$ (כאשר D אלכסונית) אז מתקיים ש- $A^{n}=(P^{-1}DP)^{n}=P^{-1}DPP^{-1}DP\cdots PDP^{-1}=PD^{n}P^{-1}$ והרי חזקה גבוהה של מטריצה אלכסונית קל לחשב כיון שזה פשוט העלאה בחזקה המתאימה כל אבר על האלכסון.