לדלג לתוכן

אלגברה לינארית/מציאת מטריצה דומה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי



מציאת מטריצה דומה בצורה מיוחדת[עריכה]

ליכסון[עריכה]

מטריצה A תיקרא "לכסינה" אם קיימת D אלכסונית שדומה לה.
משפט: A לכסינה אם ורק אם קיים בסיס של המורכב כולו מוקטורים עצמיים של A.

הוכחה

תזכורת: וקטור הוא וקטור שבכל מקום יש בו אפס, חוץ מהמקום ה- i שם יש בו 1. לדוגמא, ב- מתקיים ש- . מתקיים ש- זהו וקטור העמודה ה-iית של A.
מימין לשמאל:
נניח A לכסינה. אזי קיימת P הפיכה כך ש- כאשר D מטריצה אלכסונית.
יהי . אז . נכפול ב-P משמאל ונקבל: .
נסמן את אברי D באופן הבא:
. אז מתקיים ש- (זה נובע מהתכונה של כפל מטריצה ב-)
נחזור למשוואה: . ממה שהרגע עשינו נקבל: קיבלנו ש- ונזכור ש- זהו וקטור העמודה ה-i-ית של P שבהכרח שונה מ-0 כי P הפיכה ולכן נקבל ש- וקטור עצמי של A. זה מתקיים לכל i ולכן כל העמודות של המטריצה P הן ו"ע של A וגם כיון ש-P הפיכה, הן מהוות בסיס ל- (כי הדרגה של P הוא n). קיבלנו מההנחה ש-A לכסינה שקיים בסיס של המרחב שכולו מורכב מוקטורים עצמיים.
משמאל לימין:
נניח שקיים בסיס למרחב שכולו מורכב מוקטורים עצמיים של A. נסמן אותו . נסתכל על המטריצה שעמודותיה הן וקטורי הבסיס עצמן ונחשב את . מכפל עמודה-עמודה מתקיים שזה שווה ל- כאשר זוהי מטריצה שעמודותיה הן הוקטורים . נזכור ש- זה קבוצה של וקטורים עצמיים ולכן נקבל:
מתוך התכונה ש- כאשר זה עמודה i-ית של A, אז מתקיים ש- (שוב, כאשר v_i זה עמודה i-ית של A). נחזור למשוואה ונקבל:

ולכן קיבלנו מההנחה שקיים בסיס של המרחב שמורכב כולו מוקטורים עצמיים שיש מטריצה אלכסונית שדומה לה.

מתוך ההוכחה נסיק: המטריצה המלכסנת P היא המטריצה בה עמודותיה הן וקטורים עצמיים של A שביחד מהווים בסיס למרחב. כמו כן, על המטריצה האלכסונית שדומה ל-A מופיעים באלכסון הערכים העצמיים של A, וסדר העמודות של המטריצה P (מהמובן של הדרכים לסדר אותם) יקבע את הסדר של הערכים העצמיים על האלכסון.

כמו כן אפשר להבין שאם למטריצה A יש n ע"ע שונים אזי היא לכסינה, פשוט כי אם נתבונן בקבוצה של n וקטורים עצמיים שכל אחד מהם קשור לערך עצמי אחר, היא בת"ל ולפי משפט השלישי חינם, היא בסיס. לכן קיים בסיס של המרחב שמורכב כולו מוקטורים עצמיים של A ולכן לכסינה.

משפט: A לכסינה אם ורק אם לכל ערך עצמי יתקיים (הריבוי האלגברי והגאומטרי שווים)

חשיבות הליכסון[עריכה]

אחד השימושים הטובים של ליכסון זה חישוב חזקות גבוהות של מטריצה. נראה כי מתקיים שאם (כאשר D אלכסונית) אז מתקיים ש- והרי חזקה גבוהה של מטריצה אלכסונית קל לחשב כיון שזה פשוט העלאה בחזקה המתאימה כל אבר על האלכסון.

שילוש[עריכה]

ז'רדון[עריכה]