אלגברה לינארית/משפטי העתקות

משפט: יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית ו T:V\to W ה"ל. התנאים הבאים שקולים:

1. T הפיכה.
2. לכל זוג בסיסים B ו C של V ו W בהתאמה המטריצה $\left[T\right]_{C}^{B}$ הפיכה.
3. קיים זוג בסיסים B ו C של V ו W בהתאמה המטריצה $\left[T\right]_{C}^{B}$ הפיכה.

הוכחה:

נוכיח את השקילות בגרירה מעגלית.

$1\Rightarrow 2:$ נניח ש $T:V\to W$ הפיכה ויהיו B בסיס של V ו C בסיס של W.

אז קיימת $T^{-1}:W\to V$ ליניארית. מתקיים $\left[T\right]_{C}^{B}\cdot \left[T^{-1}\right]_{B}^{C}=\left[T\circ T^{-1}\right]_{C}^{C}=\left[id_{W}\right]_{C}^{C}$

$2\Rightarrow 3:$ מאחר ולכל מרחב וקטורי נוצר סופית יש בסיס, הגרירה מיידית.

$3\Rightarrow 1:$ יהיו B,C זוג בסיסים כך ש$\left[T\right]_{C}^{B}$ הפיכה. נסמן ב A את ההופכית של $\left[T\right]_{C}^{B}$.

ממשפט (2) שניסחנו קיימת ויחידה ה"ל $S:W\to V$ כך ש$A=\left[S\right]_{B}^{C}$. מתקיים $\left[id_{W}\right]_{C}^{C}=I=\left[T\right]_{C}^{B}\cdot \left[S\right]_{B}^{C}=\left[T\circ S\right]_{C}^{C}$ ומיחידות נובע $T\circ S=id_{W}$, ולכן T הפיכה.