אלגברה לינארית/משפטי העתקות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

משפט: יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית ו T:V\to W ה"ל. התנאים הבאים שקולים:

  1. T הפיכה.
  2. לכל זוג בסיסים B ו C של V ו W בהתאמה המטריצה הפיכה.
  3. קיים זוג בסיסים B ו C של V ו W בהתאמה המטריצה הפיכה.


הוכחה:

נוכיח את השקילות בגרירה מעגלית.

נניח ש הפיכה ויהיו B בסיס של V ו C בסיס של W.

אז קיימת ליניארית. מתקיים

מאחר ולכל מרחב וקטורי נוצר סופית יש בסיס, הגרירה מיידית.

יהיו B,C זוג בסיסים כך ש הפיכה. נסמן ב A את ההופכית של .

ממשפט (2) שניסחנו קיימת ויחידה ה"ל כך ש. מתקיים ומיחידות נובע , ולכן T הפיכה.