אלגברה לינארית/משפטי העתקות

משפט 1: יהיו $V,W$ מ"ו $T:V\to W$ ה"ל ו$S$ תת קבוצה של $V$ כך ש$span\left(S\right)=V$ אז $span\left(T\left(S\right)\right)=img\left(T\right)$. יהי $w\in img\left(T\right)$ אז קיים $v\in V$ כך ש $T\left(v\right)=w$. לכן קיימים $c_1,\mathrm{..},c_k\in 𝔽$ ו $v_1,\mathrm{..},v_k\in S$ כך ש $c_1{v}_1+\mathrm{...}+c_k{v}_k=v$ נפעיל העתקה,$spanT(s)∍T\left(v\right)=T(c_1{v}_1+\mathrm{...}+c_k{v}_k)=c_{1}T\left(v_1\right)+\mathrm{...}+c_{k}T\left(v_k\right)=w$ אז זהו צירוף ליניארי מתוך $T\left(S\right)$, כלומר $c_{1}T\left(v_1\right)+\mathrm{...}+c_{k}T\left(v_k\right)\in span\left(T\left(S\right)\right)$ . מסקנה: יהיו $V,W$ מ"ו ו $T:V\to W$ ה"ל. $\{v_1,\mathrm{..},v_n\}\in V$ כך ש $span(v_1,\mathrm{..},v_n)=V$ אז $span(T\left(v_1\right),\mathrm{...},T\left(v_n\right))=imgT$ ובפרט $imgT$ הוא מרחב וקטורי נוצר סופית.

משפט 1: אם $T:V\to W$ ה"ל ו $\{v_1,\mathrm{..},v_k\}$ ת"ל ב$V$ אז $\{T\left(v_1\right),\mathrm{...},T\left(v_k\right)\}$ ת"ל ב $W$. יהיו $c_1,\mathrm{..},c_k\in 𝔽$ לא כולם אפסים כך ש$c_1{v}_1+\mathrm{...}+c_k{v}_k=0$. נפעיל את T על שני האגפים ונקבל:$T(c_1{v}_1+\mathrm{...}+c_k{v}_k)=\underset{nontriviall}{\underbrace{c_{1}T\left(v_1\right)+\mathrm{...}+c_{k}T\left(v_k\right)}}=0=T\left(0\right)$ כאשר $c_1,\mathrm{..},c_k$ לא כולם אפסים - ולכן ישנו צירוף ליניארי לא טריוויאלי ששווה ל $0$.