משפט 1: יהיו V , W {\displaystyle V,W} מ"ו T : V → W {\displaystyle T:V\to W} ה"ל ו S {\displaystyle S} תת קבוצה של V {\displaystyle V} כך ש s p a n ( S ) = V {\displaystyle span\left(S\right)=V} אז s p a n ( T ( S ) ) = i m g ( T ) {\displaystyle span\left(T\left(S\right)\right)=img\left(T\right)} .
יהי w ∈ i m g ( T ) {\displaystyle w\in img\left(T\right)} אז קיים v ∈ V {\displaystyle v\in V} כך ש T ( v ) = w {\displaystyle T\left(v\right)=w} .
לכן קיימים c 1 , . . , c k ∈ F {\displaystyle c_{1},..,c_{k}\in \mathbb {F} } ו v 1 , . . , v k ∈ S {\displaystyle v_{1},..,v_{k}\in S} כך ש c 1 v 1 + . . . + c k v k = v {\displaystyle c_{1}v_{1}+...+c_{k}v_{k}=v}
נפעיל העתקה, s p a n T ( s ) ∍ T ( v ) = T ( c 1 v 1 + . . . + c k v k ) = c 1 T ( v 1 ) + . . . + c k T ( v k ) = w {\displaystyle spanT(s)\backepsilon T\left(v\right)=T\left(c_{1}v_{1}+...+c_{k}v_{k}\right)=c_{1}T\left(v_{1}\right)+...+c_{k}T\left(v_{k}\right)=w}
אז זהו צירוף ליניארי מתוך T ( S ) {\displaystyle T\left(S\right)} , כלומר c 1 T ( v 1 ) + . . . + c k T ( v k ) ∈ s p a n ( T ( S ) ) {\displaystyle c_{1}T\left(v_{1}\right)+...+c_{k}T\left(v_{k}\right)\in span\left(T\left(S\right)\right)} .
מסקנה: יהיו V , W {\displaystyle V,W} מ"ו ו T : V → W {\displaystyle T:V\to W} ה"ל. { v 1 , . . , v n } ∈ V {\displaystyle \left\{v_{1},..,v_{n}\right\}\in V} כך ש s p a n ( v 1 , . . , v n ) = V {\displaystyle span\left(v_{1},..,v_{n}\right)=V} אז s p a n ( T ( v 1 ) , . . . , T ( v n ) ) = i m g T {\displaystyle span\left(T\left(v_{1}\right),...,T\left(v_{n}\right)\right)=imgT}
ובפרט i m g T {\displaystyle imgT} הוא מרחב וקטורי נוצר סופית.
משפט 1: אם T : V → W {\displaystyle T:V\to W} ה"ל ו { v 1 , . . , v k } {\displaystyle \left\{v_{1},..,v_{k}\right\}} ת"ל ב V {\displaystyle V} אז { T ( v 1 ) , . . . , T ( v k ) } {\displaystyle \left\{T\left(v_{1}\right),...,T\left(v_{k}\right)\right\}} ת"ל ב W {\displaystyle W} .
יהיו c 1 , . . , c k ∈ F {\displaystyle c_{1},..,c_{k}\in \mathbb {F} } לא כולם אפסים כך ש c 1 v 1 + . . . + c k v k = 0 {\displaystyle c_{1}v_{1}+...+c_{k}v_{k}=0} .
נפעיל את T על שני האגפים ונקבל: T ( c 1 v 1 + . . . + c k v k ) = c 1 T ( v 1 ) + . . . + c k T ( v k ) ⏟ n o n t r i v i a l l = 0 = T ( 0 ) {\displaystyle T\left(c_{1}v_{1}+...+c_{k}v_{k}\right)=\underbrace {c_{1}T\left(v_{1}\right)+...+c_{k}T\left(v_{k}\right)} _{non\ triviall}=0=T\left(0\right)}
כאשר c 1 , . . , c k {\displaystyle c_{1},..,c_{k}} לא כולם אפסים - ולכן ישנו צירוף ליניארי לא טריוויאלי ששווה ל 0 {\displaystyle 0} .
מ"ו 
ה"ל ו
תת קבוצה של 
כך ש
אז 
.
אז קיים 
כך ש 
.
ו 
כך ש 
, כלומר 
.
מ"ו ו ה"ל. 
כך ש 
אז 
הוא מרחב וקטורי נוצר סופית.
