מתמטיקה תיכונית/הסתברות מותנית

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
מתמטיקה תיכונית/הסתברות
מבוא
  1. למה לקרוא את הספר הזה?
  2. מהי הסתברות ומהי סטטיסטיקה?
  3. תולדות הסטטיסטיקה וההסתברות
הסתברות קלאסית
  1. הקדמה
  2. מושגי יסוד בהסתברות
  3. הגדרת פונקציית ההסתברות
  4. פעולות במאורעות
  5. חישוב פונקציית ההסתברות עבור מאורעות מורכבים
  6. ניסוי מקרי מרובה שלבים
  7. מרחב הסתברות סופי
  8. תלות, מאורעות תלויים ובלתי תלויים
  9. הסתברות מותנית
  10. חוק בייס
  11. מקדם בינומי
  12. התפלגות בינומית
בחינות הבגרות

השאלונים הרלבנטים הם

  1. לחמש יחידות, שאלון 806
  2. לארבע יחידות, שאלון 804
  3. לשלוש יחידות, שאלון 801
  4. מקורות עזר נוספים

הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כלשהו בהנחה שמאורע אחר ארע.

הגדרה[עריכה]

הגדרה: הסתברות מותנית

יהיו שני מאורעות, כך ש- . ההסתברות המותנית של בהנתן היא

כפי שאפשר לשים לב, ההסתברות המותנית אינה מוגדרת במקרה . אא"כ יצויין אחרת, נניח במובלע כי זה אינו המצב.

דוגמא[עריכה]

נניח כי בתל-אביב גרים 100 בנים, ו-20 בנות, ואילו בחיפה גרים 40 בנים ו-50 בנות. נניח כי בוחרים אדם כלשהו באקראי.

  • מה ההסתברות כי בחרנו בבת?
    • ישנן 70 בנות מתוך 210 אנשים סה"כ מהם אנו בוחרים אחד, לכן ההסתברות לבחור בת הוא , כלומר שליש.
  • מה ההסתברות כי בחרנו בבת, אם ידוע כי האדם הנבחר גר בתל-אביב?
    • כאן ההסתברות מותנית, ונחשב לפי ההגדרות לעיל. המאורע A הוא בחירת בת והמאורע B הוא שנבחר תושב תל אביב. קל לראות כי וכן . ההסתברות הנה ההסתברות להיות בת וגם בתל אביב - ישנן 20 כאלה (מתוך אוכלוסיה של 210 סה"כ), ולכן . כעת נציב בנוסחא לעיל, ונקבל כי ההסתברות לבחור בת בהנתן שהאדם שבחרנו הוא מתל-אביב היא:


תכונות[עריכה]

המשפט הבא מראה כי כל שלוש התכונות המאפיינות הסתברות, אותן ראינו במודל ההסתברותי, מאפיינות גם הסתברות מותנית.


משפט: הסתברות מותנית היא הסתברות

נניח ש- הוא מאורע כלשהו. אז

  1. ההסתברות המותנית של מרחב המדגם שווה 1, או .
  2. לכל מאורע הסתברות מותנית אי-שלילית .
  3. אדיטיביות: עבור כל שני מאורעות זרים, הסתברות איחודם היא סכום הסתברויותיהן


בתרגיל:הסתברות מותנית היא הסתברות תתבקש להוכיח זאת.

מאותה סיבה, גם שאר התכונות של הסתברות מתקיימות לגבי הסתברות מותנית, כפי שאפשר לראות לדוגמה במשפט הבא.



משפט: הסתברות מותנית של משלים

בתרגיל:הסתברות מותנית של משלים תתבקש להוכיח זאת.

הסתברות מותנית של מאורעות בלתי-תלויים[עריכה]

התניה במאורע בלתי תלוי אינה משנה את ההסתברות:


משפט:

אם מאורעות בלתי תלויים, אז


הוכחה:

מש"ל.PNG

המקרה האקראי הסימטרי[עריכה]

במודל ההסתברותי ראינו שבמקרה מרחב המדגם הסימטרי, הסתברות הנה פרופורציה. נראה שהתכונה מתקיימת גם עבור הסתברות מותנית.

Set intersection.svg

נתבונן בתרשים בצד שמאל. לפי ההגדרה, ההסתברות המותנית הנה .

כלומר, בהנחה ש- ארע, אז מדובר בפרופורציה של השטח שמשותף גם ל- , כלומר הפרופורציה של בהנחה שיש לבחור מתוך .

קישורים חיצוניים[עריכה]


- הסתברות מותנית -