מתמטיקה תיכונית/הסתברות/הקדמה
|
מבוא
הסתברות קלאסית
בחינות הבגרות
השאלונים הרלבנטים הם |
הגדרה
[עריכה]הסתברות היא הסיכוי להתרחשות מאורע מסוים.
לעתים קרובות, נמצא את עצמנו במצב שבו קיימת אי-וודאות לגבי חיזוי תוצאה של ניסוי שבו אין לנו היכולת לחזות מראש את התוצאה, למשל הטלת מטבע. תורת ההסתברות מאפשרת לנו במקרים כאלו לדעת מהו הסיכוי לקבלת מאורע מסוים, למשל, כמה פעמים נקבל עץ, כמה פעמים נקבל פלי וכן הלאה. או במקרים מעט מסובכים יותר, למשל במקרה של פוקר, מה הסיכוי לקבל יד מנצחת בהינתן הקלפים שכבר על השולחן. במילים אחרות, תורת ההסתברות היא התורה שמסבירה את המושג "מזל", ובזכות תוצאותיה מתאפשר קיומם של מוסדות רבים, כגון : ביטוח, בנקים והימורים. כמו-כן, מדעים רבים מתבססים על תורה זו, בניהם : מדע הרפואה והפרמקולוגיה, פיזיקה ניסיונית, פיזיקה קוונטית, פיזיקה של מוליכים למחצה (מה שמאפשר את קיום המחשבים) ועוד מדעים רבים אחרים.
גורמים להסתברות
[עריכה]תורת ההסתברות עוסקת בחיזוי של תוצאות ניסויים אשר בהם קיים חוסר וודאות. חוסר הוודאות של מאורע, ולכן הצורך בחישוב או הערכה של ההסתברות שלו, עשויים לנבוע משני גורמים:
- חוסר ודאות הנובע מהאקראיות שבטבע. למשל:
- מזג האויר - כידוע לא ניתן לחזות את מזג האויר באופן מדויק לאורך כל השנה, אך ניתן לחזות (בערך) מה תהיה כמות הגשמים שתרד בשנה מסוימת. חיזויים אלו אינם "מדוייקים" (כמובן שלא קיים חיזוי של מאורע כלשהו שהוא מדויק לחלוטין) אך ניתן לדעת מה תהיה ההסתברות שאכן חיזוי מסויים יתממש.
- התפרקות חומר רדיואקטיבי - אין אנו יכולים לדעת באיזה אטום ספציפי ובאיזה מועד מדוייק תתרחש ההתפרקות הבאה, אם כי ניתן לדעת זאת במונחים סטטיסטיים-הסתברותיים.
- חוסר ודאות הנובע ממידע חלקי הנמצא בידינו. דוגמה לכך, היא השאלה "האם בשבוע הבא תפרוץ מלחמה?", שעליה נדרש המודיעין לענות. אף שייתכן שהאויב יודע תשובה ברורה לשאלה זו, כפי שהיה המצב ערב מלחמת יום הכיפורים, המידע שבידי המודיעין הוא מידע חלקי, שלפיו יש לתת הערכה להסתברות של מאורע זה.
מה ההבדל בין אחוזים להסתברות?
[עריכה]כאשר אנו מטילים מטבע, קל לומר באופן אינטואיטיבי שההסתברות שהוא ייפול על "עץ" היא 50%. בקביעה זו חסרה עדיין הגדרה פורמלית של המושג הסתברות, כיוון שכאשר אנו מטילים מטבע 10 פעמים, נוכל לצפות שב-5 מקרים ייצא "עץ" וב-5 מקרים ייצא "פלי", אך ברור שאין כל ודאות בכך - ייתכן שבכל 10 ההטלות התוצאה תצא "עץ". מהי, אם כן, המשמעות של "הסתברות של 50%" בהקשר זה? התשובה של תורת ההסתברות לשאלה זו היא שההסתברות משקפת את השכיחות היחסית במספר גדל והולך של ניסיונות.
דוגמה: אם המטבע שקול (אינו מזויף) ומוטל באופן שאין דרך לדעת מראש אם תוצאת הטלתו תהיה "עץ" או "פלי", ההנחה המקובלת היא שקיימת הסתברות שווה לכל אחת משתי התוצאות האפשריות (התוצאה שהמטבע ייפול ויעמוד על קצהו אינה מובאת בחשבון). ניתן לנבא כי במספר גדול של הטלות, מחציתן (בקירוב) יקבלו את הערך "עץ" ומחציתן (בקירוב) - את הערך "פלי". ככל שיגדל מספר ההטלות, כן תשאף התפלגותן ליחס 50:50.
במהלך המאה ה-17, ובמהלך השנים בכלל, נערכו ניסויים רבים ובהם בדקו את ההסתברות בהטלת מטבע. במהלך הניסויים הטילו מטבע מאות אלפי פעמים, ונוכחו לגלות שבכל פעם התפלגות התוצאות הייתה קרובה ליחס 50:50 ובדרך כלל, ככל שגדל מספר הניסויים - כן התקרבו התוצאות ליחס זה. בעקבות ניסויים אלה התפתחה תורת ההסתברות.
דוגמה נוספות, כאשר מטילים קוביית משחק כשרה פעם אחת, מניחים שההסתברות שהיא תיפול כך שהמספר 3 כלפי מעלה, היא (פעם אחת מתוך שש האפשרויות הקיימות : 1,2,3,4,5,6). כמובן שההסתברות זהה עבור כל המספרים (1-6) בקוביה. לכולם הסתברות שווה.
בעזרת ידע זה, נוכל לנבא כי במספר גדול של הטלות, ב- מהן ייצא המספר 3. (ובשישית יצאו גם 1,2,4,5 ו- 6...).
כמובן שאם נזרוק קוביה 6 פעמים, לא נקבל כל תוצאה בדיוק פעם אחת. אבל אם נזרוק את הקוביה מספר רב מאוד של פעמים, כל תוצאה תתקבל בבערך מן הזריקות.
דוגמאות לשימוש בהסתברות
[עריכה]- משחקי מזל - דוגמה: מה ההסתברות שניחוש יחיד (בלוטו, בטוטו וכד') יזכה בפרס הראשון. במיוחד מעסיקה שאלה זו את מארגן המשחק, שרוצה לתכנן את המשחק כך שירוויח בו.
- מצבי סיכון- דוגמה: מה ההסתברות שאדם המבטח את חייו ימות במהלך השנה הקרובה. התשובה לשאלה זו קובעת את גובה הפרמיה שתדרוש חברת הביטוח.
נסכם: ההסתברות היא דרך לנבא את מידת התרחשותו של מקרה מסוים במספר גדול של ניסויים.