מתמטיקה תיכונית/הסתברות/מושגים יסודיים

מתמטיקה תיכונית/הסתברות

מבוא למה לקרוא את הספר הזה? מהי הסתברות ומהי סטטיסטיקה? תולדות הסטטיסטיקה וההסתברות הסתברות קלאסית הקדמה מושגי יסוד בהסתברות הגדרת פונקציית ההסתברות פעולות במאורעות חישוב פונקציית ההסתברות עבור מאורעות מורכבים ניסוי מקרי מרובה שלבים מרחב הסתברות סופי תלות, מאורעות תלויים ובלתי תלויים הסתברות מותנית חוק בייס מקדם בינומי התפלגות בינומית העשרה ומעוררי עניין בחינות הבגרות השאלונים הרלבנטים הם לחמש יחידות, שאלון 806 לארבע יחידות, שאלון 804 לשלוש יחידות, שאלון 801 מקורות עזר נוספים

פעולה מקרית

פעולה מקרית (או נסיון או שלב) היא פעולה שאיננו יכולים לצפות מראש את תוצאתה.

דוגמאות:

• הטלת מטבע - איננו יודעים מראש אם התוצאה תהיה עץ או פלי.
• הטלת קוביית משחק - איננו יודעים מראש אם התוצאה תהיה 1,2,3,4,5 או 6.
• בחירת קלף משחק מחפיסת קלפים טרופה היטב - איננו יודעים מראש איזה קלף זה יהיה מתוך 52 הקלפים.

תוצאה אפשרית (של פעולה)

לכל פעולה יש תוצאות אפשריות - תוצאות שיכולות להתקבל מביצוע הפעולה.

דוגמאות:

• בהטלת מטבע תוצאה אפשרית היא 'עץ' או 'פלי'. כל תוצאה אחרת אינה אפשרית.
• בזריקת קוביה תוצאה אפשרית היא 1,2,3,4,5 או 6. התוצאה 7, למשל, היא אינה תוצאה אפשרית בזריקת קוביה.

ניסוי מקרי

ניסוי מקרי הוא הרחבה של הפעולה המקרית (שלב).

הוא יכול לכלול שלב אחד, ואז הוא בעצם פעולה מקרית: הטלת קוביה פעם אחת.

הוא יכול לכלול כמה שלבים: זריקת קוביה כמה פעמים.

מרחב המדגם $\Omega$

מרחב המדגם הוא אוסף כל התוצאות האפשריות של ניסוי מקרי. לשם הפשטות ניקח ניסוי מקרי עם שלב אחד. את התוצאות מסמנים בתוך סוגריים מסולסלים { ו- } ומפרידים בפסיקים.

דוגמאות:

• מרחב המדגם $\Omega$ של ניסוי מקרי בו זורקים קוביה פעם אחת הוא: {1,2,3,4,5,6}
• מרחב המדגם $\Omega$ של ניסוי מקרי בו מטילים מטבע פעם אחת הוא: {עץ, פלי}

מאורע פשוט

מאורע פשוט הוא כאשר מתקבלת תוצאה אחת מתוך מרחב המדגם (או, בניסוי רב שלבי, קבוצה סדורה של תוצאות אפשריות). מאורע מסמנים באות לטינית גדולה (A,B,C...) את התוצאה רושמים בתוך סוגריים מסולסלים { ו- }.

דוגמאות:

• מאורע פשוט A של זריקת קוביה הוא למשל: {3} = A.
• מאורע פשוט B של הטלת מטבע הוא למשל: {עץ} = B.
• (מאורע פשוט C של זריקת קובייה פעמיים הוא למשל: {4,3} = A (להדגשת הסדר ניתן לרשום גם כווקטור (4,3)).

מאורע

מאורע הוא אוסף של תוצאות. אם יש תוצאה אחת - זהו מאורע פשוט.

דוגמאות למאורעות לא פשוטים:

• מאורע A של זריקת קוביה הוא למשל, קבלת תוצאה זוגית (2,4,6): $A=\{2,4,6\}$ .
• מאורע B של שליפת קלף מחפיסת קלפים הוא למשל, קבלת אס: $B=\{A\spadesuit ,A\heartsuit ,A\diamondsuit ,A\clubsuit \}$

המאורע הריק $\phi$

המאורע הריק, הוא בעצם תוצאה בלתי אפשרית. מאורע שלעולם לא מתרחש. הוא מסומן באות היוונית $\phi$.

הוא בעצם האפס של ההסתברות. שימושיו הם ביחס למאורעות אחרים.

למשל, בזריקת קוביה, נגדיר מאורע A שהוא תוצאה המתחלקת ב 3 ו ב 5 . כיון שאף אחת מתוצאות הקוביה לא מתחלקת גם ב-3 וגם ב 5, נגיד ש-A הוא מאורע ריק: $A=\phi$ .

גודל של מאורע

גודל של מאורע הוא מספר התוצאות במאורע. גודל של מאורע מסומן כמו ערך מוחלט: $|A|$ .

דוגמאות:

$A=\{1,2,3\},|A|=3$

$B=\{1,3,5\},|B|=3$

• אין חשיבות לאילו תוצאות אלה, אלה לכמה תוצאות במאורע.

$D=\{10\spadesuit ,J\spadesuit ,Q\spadesuit ,K\spadesuit ,A\spadesuit \},|D|=5$

גם מרחב המדגם הוא מאורע, מאורע שמכיל את כל התוצאות האפשריות. למשל בזריקת קוביה:

$\Omega =\{1,2,3,4,5,6\},|\Omega |=6$

המאורע הריק, כשמו כן הוא, ריק:

$|\phi |=0$

הגדרת ההסתברות

בניסוי מקרי מגדירים פונקצית הסתברות P שמתאימה לכל מאורע A ערך מספרי שהוא ההסתברות שהמאורע A יתרחש.

ההסתברות של המאורע A מסומנת ב- $P(A)$ .

ערך ההסתברות הוא תמיד מספר בין 0 ל- 1:

$0\leq P(A)\leq 1$

ההסתברות של המאורע הריק היא - 0: (אין סיכוי שזה יתרחש)

$P(\phi )=0$

ההסתברות של מרחב המדגם היא - 1: (100% שתוצאה ממרחב המדגם תצא בניסוי)

$P(\Omega )=1$

בפרק הבא נלמד לחשב את פונקציית ההסתברות עבור מאורע מסויים.