הסתברות/תוחלת ומומנטים/פונקציה יוצרת מומנטים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי


הגדרה: פונקציה יוצרת מומנטים

עבור מ"מ X, הפונקציה יוצרת המומנטים שלו היא והיא מוגדרת כאשר התוחלת קיימת, כך שעבור מ"מ רציף נקבל .

שימו לב כי הפונקציה יוצרת המומנטים היא התמרת לפלאס של הצפיפות.

תכונות[עריכה]

  • אם M גזירה k פעמים בסביבת s=0 וב-s=0 עצמה אז: .

דוגמה[עריכה]

יהי X מ"מ. מהו X אם ידוע כי קיימת סביבה עבורה הפונקציה יוצרת המומנטים לינארית?

פתרון: נניח כי באותה סביבה. אז:

כעת ניזכר כי השונות חייבת להיות חיובית ואז:

כלומר קיבלנו שהשונות היא אפס (כלומר מדובר במשתנה מקרי מנוון) והתוחלת היא אפס, לכן X מקבל ערך יחיד (0) בהסתברות 1.


הפרק הקודם:
אי שוויון ינסן
פונקציה יוצרת מומנטים הפרק הבא:
פונקציה אופיינית