הסתברות/תוחלת ומומנטים/פונקציה יוצרת מומנטים

הגדרה: פונקציה יוצרת מומנטים עבור מ"מ X, הפונקציה יוצרת המומנטים שלו היא $\ M_{X}(s)=\mathbb {E} e^{sX}$ והיא מוגדרת כאשר התוחלת קיימת, כך שעבור מ"מ רציף נקבל $\ M_{X}(s)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{sx}f_{X}(x)dx$.

שימו לב כי הפונקציה יוצרת המומנטים היא התמרת לפלאס של הצפיפות.

תכונות

• $\ M_{X}(0)=1$
• אם M גזירה k פעמים בסביבת s=0 וב-s=0 עצמה אז: $\ M_{X}^{(k)}(0)=\mathbb {E} X^{k}$.

דוגמה

יהי X מ"מ. מהו X אם ידוע כי קיימת סביבה $\ -\delta <s<\delta$ עבורה הפונקציה יוצרת המומנטים לינארית?

פתרון: נניח כי $\ M_{X}(s)=as+b$ באותה סביבה. אז:

$\ M_{X}(0)=1\ \Rightarrow \ b=1$

$\ \mathbb {E} X=M_{X}'(0)=a$

$\ \mathbb {E} X^{2}=M_{X}''(0)=0$

כעת ניזכר כי השונות חייבת להיות חיובית ואז:

$\ 0\leq VarX=\mathbb {E} X^{2}-(\mathbb {E} X)^{2}=-a^{2}\ \Rightarrow \ a=0\ \Rightarrow \ VarX=0$

כלומר קיבלנו שהשונות היא אפס (כלומר מדובר במשתנה מקרי מנוון) והתוחלת היא אפס, לכן X מקבל ערך יחיד (0) בהסתברות 1.

הפרק הקודם: אי שוויון ינסן

פונקציה יוצרת מומנטים

הפרק הבא: פונקציה אופיינית