מתמטיקה תיכונית/הסתברות/הגדרת פונקציית ההסתברות

מתמטיקה תיכונית/הסתברות

מבוא למה לקרוא את הספר הזה? מהי הסתברות ומהי סטטיסטיקה? תולדות הסטטיסטיקה וההסתברות הסתברות קלאסית הקדמה מושגי יסוד בהסתברות הגדרת פונקציית ההסתברות פעולות במאורעות חישוב פונקציית ההסתברות עבור מאורעות מורכבים ניסוי מקרי מרובה שלבים מרחב הסתברות סופי תלות, מאורעות תלויים ובלתי תלויים הסתברות מותנית חוק בייס מקדם בינומי התפלגות בינומית העשרה ומעוררי עניין בחינות הבגרות השאלונים הרלבנטים הם לחמש יחידות, שאלון 806 לארבע יחידות, שאלון 804 לשלוש יחידות, שאלון 801 מקורות עזר נוספים

פונקציית ההסתברות

נזכיר את הגדרת פונקציית ההסתברות:

בניסוי מקרי מגדירים פונקצית הסתברות P שמתאימה לכל מאורע A ערך מספרי שהוא ההסתברות שהמאורע A יתרחש.

ההסתברות של המאורע A מסומנת ב- $P(A)$ .

ערך ההסתברות הוא תמיד מספר בין 0 ל- 1:

$0\leq P(A)\leq 1$

ההסתברות של המאורע הריק היא - 0: (אין סיכוי שזה יתרחש)

$P(\phi )=0$

ההסתברות של מרחב המדגם היא - 1: (100% שתוצאה ממרחב המדגם תצא בניסוי)

$P(\Omega )=1$

חישוב פונקציית ההסתברות

במידה ואנו דוגמים מהתפלגות אחידה לכל מאורע סיכוי שווה (כמו בזריקת קוביה כשרה) ערך פונקציית ההסתברות של מאורע A הוא:

$P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}$

כאשר $|A|$ הוא גודל המאורע A (מספר התוצאות ב-A). ו- $|\Omega |$ הוא גודל מרחב המדגם (מספר התוצאות במרחב המדגם).

דוגמא:

מה ההסתברות לקבלת מספר זוגי בהטלת קוביה?

פתרון:

בהטלת קוביה מרחב המדגם הוא המספרים 1-6:

$\Omega =\{1,2,3,4,5,6\},|\Omega |=6$

נגדיר מאורע A - קבלת מספר זוגי:

$A=\{2,4,6\},|A|=3$

נחשב את פונקצית ההסתברות:

$P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}={\frac {{\Big |}\{2,4,6\}{\Big |}}{{\Big |}\{1,2,3,4,5,6\}{\Big |}}}={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$

תשובה:

ההסתברות היא ${\frac {1}{2}}$ .

דוגמא:

מה ההסתברות באחוזים לשליפת קלף לב, $\heartsuit$ , מחפיסת קלפים?

פתרון:

בחפיסת קלפים 52 קלפים:

$|\Omega |=52$

בחפיסה, מכל סוג (כמו $\heartsuit$) יש 13 קלפים. נגדיר מאורע A ובו כל הקלפים מסוג לב:

$|A|=13$

נחשב את פונקצית ההסתברות:

$P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}={\frac {13}{52}}={\frac {1}{4}}={\frac {25}{100}}$

תשובה:

ההסתברות היא 25%.

התפלגות אחידה והתפלגויות אחרות

התפלגות היא דרך לקבוע את של ההסתברות למאורע בודד. לדוגמה, בהתפלגות אחידה יש לנו מספר סופי של מאורעות ולכל אחד מהם סיכוי זהה. ישנן אינסוף התפלגויות וכאשר אנו עוסקים בהסתברות יש להגדיר את ההתפלגות. חומר הלימוד לבגרות כולל התפלגות אחידה, התפלגות שירורית של מספר אירועים סופי (כד ובו 17 כדורים ירוקים, 8 אדומים ו 14 כחולים) והתפלגות בינומית. לצרכינו, כאשר מחשבים הסתברות של מאורעות מורכבים יש לחשב בעזרת ההסתברות למקרה פשוט. התפלגות אחידה היא מקרה פרטי בו הסיכוי למספר מסויים של מאורעות שווה למספרם חלקי מספר האירועים הכולל.