הסתברות/תוחלת ומומנטים/שונות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

השונות (Variance) היא מדד לפיזור התוצאות של מ"מ סביב התוחלת שלו. ככל שהשונות יותר קטנה, כך התוצאות מרוכזות יותר סביב התוחלת.


הגדרה: שונות

יהי X מ"מ. השונות של X מוגדרת על ידי: , והיא קיימת כאשר המומנט השני קיים וסופי.

הגדרה זו מעניקה חשיבות רבה יותר עבור סטיות גדולות, מכיוון שהקשר הינו ריבועי. למעשה, ניתן לכנות את השונות כ"סטייה ריבועית מינימלית ממרכז הכובד".

על מנת שהשונות תקבל משמעות מעשית, מגדירים את סטיית התקן (SD - Standard Deviation):

הגדרה: סטיית תקן

יהי X מ"מ. סטיית התקן שלו מוגדרת על ידי: .

כך, סטיית התקן היא באותן יחידות של X.

תכונות[עריכה]

  • אם X מ"מ מנוון המקבל את הערך x0 בהסתברות 1, אז .
  • הזזה לא משפיעה על השונות:
  • עבור קבוע a כלשהו: . בדומה, .
  • עבור סכום מ"מ כלשהם:

דוגמאות[עריכה]

הערה: בכל הדוגמאות להלן q = 1-p.

שונות של משתנה גאומטרי[עריכה]

  • יהי אז:
נחשב בנפרד את :
כעת נחבר ונקבל:

שונות של משתנה בינומי[עריכה]

  • יהי אז:
שימו לב כי ניתן להציב p+q=1 רק לאחר שביצענו את הגזירה. השונות, אם כן, היא:

שונות של משתנה פואסוני[עריכה]

  • יהי אז:

שונות של משתנה אחיד[עריכה]

  • יהי אז:

הרחבה[עריכה]

  • יהי אז:
דרך אחרת: נגדיר מ"מ חדש: . ונשתמש בתכונת ההזזה של השונות:
ולכן: .

שונות של משתנה מעריכי[עריכה]

  • יהי אז:
מחדו"א ידוע: ,
ולכן:

שונות של משתנה נורמלי[עריכה]

  • יהי אז:
שימו לב כי הצפיפות הגאוסית מוגדרת כך שהפרמטר הראשון הוא התוחלת, והשני הוא השונות, ולכן ברור רק מהסתכלות ש- .

שונות של משתנה גאוסי כללי[עריכה]

  • יהי אז:
נגדיר מ"מ חדש: . אז:
שימו לב כי הצפיפות הגאוסית מוגדרת כך שהפרמטר הראשון הוא התוחלת, והשני הוא השונות, ולכן ברור רק מהסתכלות ש- .


הפרק הקודם:
מומנטים
שונות הפרק הבא:
אי שוויון מרקוב