מתמטיקה תיכונית/הסתברות/חישוב פונקציית ההסתברות עבור מאורעות מורכבים

מתמטיקה תיכונית/הסתברות

מבוא למה לקרוא את הספר הזה? מהי הסתברות ומהי סטטיסטיקה? תולדות הסטטיסטיקה וההסתברות הסתברות קלאסית הקדמה מושגי יסוד בהסתברות הגדרת פונקציית ההסתברות פעולות במאורעות חישוב פונקציית ההסתברות עבור מאורעות מורכבים ניסוי מקרי מרובה שלבים מרחב הסתברות סופי תלות, מאורעות תלויים ובלתי תלויים הסתברות מותנית חוק בייס מקדם בינומי התפלגות בינומית העשרה ומעוררי עניין בחינות הבגרות השאלונים הרלבנטים הם לחמש יחידות, שאלון 806 לארבע יחידות, שאלון 804 לשלוש יחידות, שאלון 801 מקורות עזר נוספים

ההסתברות של אירוע משלים ${\bar {A}}$

המאורע המשלים ל-A צבוע בירוק

נחשב את

$P({\bar {A}})=$

$AU{\bar {A}}=\Omega$

ומכאן $P(AU{\bar {A}})=1$

$A\cap {\bar {A}}=\phi$

ומכאן $P(A\cap {\bar {A}})=0$

$P({\bar {A}})=P(\Omega -A-A\cap {\bar {A}})=P(\Omega -A-\phi )=P(\Omega -A)=1-P(A)$

ההסתברות של אחד משני מאורעות (יחס או) $A\cup B$

האיחוד של A ו-B הוא כל מה שב-A ו/או ב-B

החיתוך הוא החלק המשותף ל-A וגם ל-B.

עלינו לחשב את $|A\cup B|$ כדי לחשב את $P(A\cup B)$ . באיורים ניתן לראות ש- $A\cup B$ מכיל את התוצאות שהן רק של A, את התוצאות שהן רק של B ואת התוצאות המשותפות. אם נביט באיור התחתון נראה שהתוצאות המשותפות הן בעצם $A\cap B$ . (החיתוך הוא החלק המשותף). לכן $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ .

מספר התוצאות באיחוד ($|A\cup B|$) שווה למספר התוצאות ב-A ועוד מספר התוצאות ב-B פחות מספר התוצאות בחיתוך ($|A\cap B|$) מכיון שאת החיתוך אנחנו סופרים פעמיים.

נדגים זאת:

מאורע A הוא {1,2,3,4}, |A| הוא 4.

מאורע B הוא {3,4,5}, |B| הוא 3.

$A\cap B$ הוא {3,4}, $|A\cap B|$ הוא 2.

בדוגמא, $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=4+3-2=5$ . ההגיון ברור - אנחנו סופרים פעמיים את החיתוך {3,4} פעם אחת ב-A ופעם אחת ב-B. למרות שבאיחוד, התוצאות {3,4} מופיעות פעם אחת בלבד. לכן צריך לחסר אותו מסכום הגדלים של שני המאורעות.

את ההסתברות עצמה, לאחר שמצאנו את גודל המאורע נחשב בדיוק כמו בסעיף הקודם. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

ההסתברות של חיסור מאורעות $A-B$

$A-B$ הוא כל מה שב-A ולא ב-B.

החיתוך הוא החלק המשותף ל-A וגם ל-B.

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$

ראו גם

1. נוסחת ההסתברות השלמה בויקיפדיה
2. נוסחת ההסתברות השלמה בספר ההסתברות