הסתברות/משתנים מקריים/פונקציות של משתנים מקריים

למה אם h פונקציה כך ש- $h:ℝ\to ℝ$ ואם X מ"מ, אז גם $Y=h(X)$ מ"מ.

למה "אי תלות של טרנספורמציות" אם X,Y מ"מ ב"ת, אז גם הטרנספורמציות $g(X),h(Y)$ הינן בלתי-תלויות.

צפיפות של טרנספורמציה

כאשר מדובר בפונקציות התפלגות פשוטות, ניתן לבצע פעולות בתוך פונקצית ההתפלגות:

$F_Y(y)=\mathbb{P}(Y\le y)=\mathbb{P}(h(X)\le y)=\mathbb{P}(X|h(X)\le y)$

אך במקרים רבים פשוט נעדיף להעזר במשפט:

משפט: צפיפות של טרנספורמציה תהי h חח"ע וגזירה בתומך של המ"מ X, ו-X בעל צפיפות $f_X(x)$. אז הצפיפות של $Y=h(X)$ נתונה על ידי: $f_Y(y)=|h^{-1}(y{)}^{\prime }|f_X[h^{-1}(y)]$.

הוכחה

תהי $h(x)$ ונניח כי $h^{\prime }(x)\ne 0$.

נסתכל על פונקציית ההתפלגות:$F_Y(y)$:

$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(h(X)\le y)=P(X\le h^{-1}(y))=F_X(h^{-1}(y))$

ואם נגזור את שני האגפים לפי $y$ נקבל את התוצאה המבוקשת.

הערה: ההוכחה היתה עבור פונקציה $h$ עולה, ההוכחה זהה עבור פונקציה יורדת אך עם החלפת סימנים במקומות מסוימים.

דוגמאות

(להשלים)

צפיפות של טרנספורמציה: הכללה

משפט: צפיפות של טרנספורמציה (הכללה) אם ניתן לפרק את h ל-n קטעים אשר מרכיבים את התומך, ובכל אחד מהם h חח"ע וגזירה, ו- $Y=h(X)$ אז: $f_Y(y)=\sum _{i=1}^n|h_i^{-1}(y{)}^{\prime }|f_X[h_i^{-1}(y)]$.

הוכחה

(להשלים)

דוגמאות

(להשלים)

הפרק הקודם: התפלגויות משותפות ומותנות

פונקציות של משתנים מקריים

הפרק הבא: תוחלת ומומנטים