הסתברות/תוחלת ומומנטים/אי שוויון צ'בישב

אי שיוויון צ'בישב (נקרא גם: צ'בישף וגם: צ'ביצ'ב) נותן חסם להסתברות לקבל ערכים רחוקים מן התוחלת. במילים אחרות: מאפשר להעריך את התפלגות התוחלת. על פי אי-שיוויון צ'בישב, כאשר השונות קטנה, ההסתברות לסטיות גדולות מן הממוצע גם היא קטנה.

משפט: אי שוויון צ'בישב יהי X מ"מ בעל תוחלת $\ \mu _{X}$ ושונות $\ \sigma _{X}^{2}$, אז לכל a,b חיוביים מתקיים: $\ \mathbb {P} (|X-\mu _{X}|>a\sigma )<{1 \over a^{2}}$, או לחלופין: $\ \mathbb {P} (|X-\mu _{X}|>b)<{\sigma _{X}^{2} \over b^{2}}$ כאשר b=aσ.

שימו לב כי עבור ערכי b קטנים החסם של צ'בישב גדול מאחד. לכן החסם יעיל כאשר מדובר ב-b-ים גדולים. כמו-כן, במידה ופונקצית הצפיפות סימטרית סביב התוחלת, ומעוניינים רק בצד אחד של התוחלת, ניתן לשפר את החסם פי 2.

דוגמה

אדם יוצא לעבודה כל יום בשעה 7:30. הזמן הממוצע שלוקח לו להגיע הוא 30 דקות (כלומר $\mu _{x}=30$), וסטיית התקן היא 5 דקות ($\sigma _{x}=5$). ביום מסוים מגיע לקוח למקום העבודה ב-8:30. נראה כי הסיכוי שהלקוח יגיע לפני האדם קטנה מ-3%:

אם סטיית התקן הינה 5 דקות, אזי השונות היא 25 דקות², מההגדרה כי $Var\left(X\right)=\sigma _{x}^{2}$.

אנו מחפשים את $P(X>60)$, נבצע מעבר מתמטי ונקבל: $P\left(X>60\right)=P\left(\left(X-30\right)>30\right)\leq P\left(\left|X-30\right|\geq 30\right)\leq {\frac {25}{30^{3}}}<{\frac {3}{100}}=3\%$

מש"ל

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: אי שוויון צ'בישב

הפרק הקודם: אי שוויון מרקוב

אי שוויון צ'בישב

הפרק הבא: אי שוויון ינסן