הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים בדידים

משתנה מקרי הוא משתנה מקרי בדיד אם קבוצת הערכים שהוא יכול לקבל היא סופית או בת מניה.

הגדרות

הגדרה: משתנה מקרי בדיד משתנה מקרי בדיד הוא משתנה מקרי אשר מקבל ערכים מקבוצה סופית או בת מניה. אם המשתנה הוא, לדוגמה, $X$, אז קיימת קבוצה $A$ שעבורה $\sum _{x\in A}\mathbb {P} (X=x)=1$

לדוגמה, אם המשתנה המקרי $X$ הוא 0 אם תוצאת הטלת קוביה היא זוגית, ו-1 אחרת, אז הקבוצה $A=\{0,1\}$ היא בת שני איברים, ו-$X$ מקבל ערכים רק מקבוצה זו.

פונקציית ההסתברות ופונקציית ההסתברות המצטברת

כדי לדבר על משתנה מקרי בדיד, אין צורך בהכרח להגדיר תחילה ניסוי ומיפוי מתוצאותיו למספרים (כפי שעשינו לגבי הטלת קוביה ותוצאותיה הזוגיות והאי זוגיות). אפשר להגדיר מ"מ בדיד ע"י הערכים שאותם הוא יכול לקבל, וההסתברויות של כ"א מערכים אלה.

משתנה מקרי בדיד המקבל 3 ערכים.

לדוגמה, המ"מ הבדיד המתואר בתרשים בצד שמאל מקבל אחד מ3 ערכים, שלכל אחד מהם מצויינת ההסתברות לכך.

הגדרה: פונקציית הסתברות אם $X$ הוא מ"מ בדיד, ו-$A$ היא קבוצת הערכים שאותם הוא יכול לקבל, אז פונקציית ההסתברות של $X$ היא פשוט $\mathbb {P} (X=x)$ לכל $x\in A$. במקומות רבים פונקציית ההסתברות של משתנה X מסומנת $P_{X}(x)\equiv \mathbb {P} (X=x)$. לעיתים, כאשר ברור מהו המשתנה האקראי, משמשים בקיצור $P(x)$, אך אנו נמנע משימוש רב-משמעי זה.

מסיבות שנראה בהמשך, מקובל גם לדבר על הפונקציה המתארת את הסיכוי שתוצאתו של מ"מ היא לכל היותר ערך כלשהו.

בשרטוט העליון מוצגת פונקציית ההצטברות של ההתפלגות הבדידה מהתרשים הקודם. שני השרטוטים האחרים מתארים פונציות הצטברות שאינן אופייניות למ"מ בדיד, אלא למ"מ מסוגים שנראה בהמשך.

לדוגמה, התרשים הראשון בצד שמאל מתאר את הסיכוי של המ"מ שראינו מקודם להיות לכל היותר ערך כלשהו.

הגדרה: פונקציית הצטברות, התפלגות אם $X$ הוא מ"מ בדיד, אז פונקציית ההצטברות שלו היא $F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leq x)$, כלומר הסיכוי שלו לקבל ערך לכל היותר $x$. נאמר גם כי המ"מ $X$ מתפלג לפי פונקציית ההצטברות.

נהוג לאפיין מ"מ לפי התפלגויותיהם.

התפלגויות חשובות

• משתנים מקריים/משתנים מקריים בדידים
  • התפלגות יוניפורמית
  • התפלגות ברנולי
  • התפלגות בינומית
  • התפלגות גאומטרית
  • התפלגות בינומית שלילית
  • התפלגות פואסון

דוגמאות מסכמות

להלן מספר דוגמאות המשתמשות ההתפלגויות לעיל.

דוגמה: מודל לגלאי אלקטרונים: אם מספר האלקטרונים X הנפלטים מקתודה בשעה הוא מ"מ פואסוני עם פרמטר λ=3, וההסתברות של אלקטרונים אלו להגיע לגלאי היא p=0.75, מהי ההסתברות שמבין האלקטרונים שנפלטו בשעה, לפחות אחד יגיע לגלאי? פתרון: כפי שראינו בדוגמה בהתפלגות פואסון, $\ X\sim Pois(3)$, ולכן $\ \mathbb {P} (X=n)=e^{-3}{3^{n} \over n!}$. נגדיר את מספר הפגיעות בלוח בתור H. שימו לב כי H מייצג את מספר ההצלחות מתוך n נסויי ברנולי, ולכן $\ H\sim Bin(n,p)$. לשם הנוחות נסמן q=0.25. נחשב בשלבים: $\ \mathbb {P} (H\geq 1|X=n)=1-\mathbb {P} (H=0|X=n)=1-\left.{n \choose k}p^{k}q^{n-k}\right|_{k=0}=1-q^{n}$ כעת, בעזרת נוסחת ההסתברות השלמה נחשב את ההסתברות המבוקשת: $\ \mathbb {P} (H\geq 1)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\mathbb {P} (H\geq 1|X=n)\mathbb {P} (X=n)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }(1-q^{n})e^{-3}{3^{n} \over n!}=$ $\ =\sum \limits _{n=0}^{\infty }e^{-3}{3^{n} \over n!}-e^{-3}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{(3q)^{n} \over n!}=1-e^{-3}e^{3q}=1-e^{-2.25}\approx 0.89$

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: התפלגות בדידה

הפרק הקודם: משתנים מקריים

משתנים מקריים בדידים

הפרק הבא: משתנים מקריים רציפים