לדלג לתוכן

מתמטיקה תיכונית/הסתברות/ניסוי מקרי מרובה שלבים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
מתמטיקה תיכונית/הסתברות
מבוא
  1. למה לקרוא את הספר הזה?
  2. מהי הסתברות ומהי סטטיסטיקה?
  3. תולדות הסטטיסטיקה וההסתברות
הסתברות קלאסית
  1. הקדמה
  2. מושגי יסוד בהסתברות
  3. הגדרת פונקציית ההסתברות
  4. פעולות במאורעות
  5. חישוב פונקציית ההסתברות עבור מאורעות מורכבים
  6. ניסוי מקרי מרובה שלבים
  7. מרחב הסתברות סופי
  8. תלות, מאורעות תלויים ובלתי תלויים
  9. הסתברות מותנית
  10. חוק בייס
  11. מקדם בינומי
  12. התפלגות בינומית
בחינות הבגרות

השאלונים הרלבנטים הם

  1. לחמש יחידות, שאלון 806
  2. לארבע יחידות, שאלון 804
  3. לשלוש יחידות, שאלון 801
  4. מקורות עזר נוספים

חלוקה לשלבים של ניסוי מקרי מרובה שלבים[עריכה]

נתבונן בבעיה הבאה:

דני ורני מחליטים לשחק.

אם ירד גשם, הם ישחקו שח, אחרת ישחקו כדורסל.

הסיכוי לגשם הוא 20%.

הסיכוי של דני לנצח בשח הוא 70%.

הסיכוי של דני לנצח בכדוסל הוא 45%.

מה הסיכוי של דני לנצח?

כיצד ניתן לפתור את הבעיה?

אחת הדרכים הנוחות להתמודד עם הבעיה היא לחלק אותה לשלבים.

בשלב הראשון נחלק לאפשרויות לפי מזג האויר ובשלב השני נטפל בסיכוי לנצח במשחק הרלוונטי.

נוח מאד להציג את האפשרויות בטבלה או בעץ.


 
 
 
 
ירד גשם
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ירד גשם
 
 
 
 
 
לא ירד גשם
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
דני ינצח 0.7 * 0.2
 
דני יפסיד 0.3 * 0.2
 
דני יפסיד 0.55*0.8
 
 
דני ינצח 0.45 *0.8
 


השיטה לבניית הטבלה היא מניית כלל האפשרויות של השלב הראשון, ועבור כל אפשרות של השלב הראשון את כל האפשרויות של השלב השני הרלוונטית לו.

עבור כל שורה בטבלה, נחשב את הסיכוי לה.

הטבלה עבור המקרה שלנו היא:

ירד גשם דני ינצח במשחק הסתברות
לא לא (דני לא ינצח בכדורסל) 0.55*0.8
לא כן (דני ינצח בכדורסל) 0.45 *0.8
כן לא (דני לא ינצח בשח) 0.3 * 0.2
כן כן (דני ינצח בשח) 0.7 * 0.2


P(Danny) = 0.8*0.45 + 0.2*0.7 = 0.5

חשוב לשים לב לכמה נקודות:

  • החלוקה לשלבים נועדה לנוחיותנו - ניתן היה לחשב את הסיכוי לכל אירוע ישירות
  • ניתן לחלק בכל אופן שמשרת אותנו - בדוגמה זו היה נוח להתחיל בגשם. אם יש קשר סיבתי בין האירועים יותר נוח להתחיל מהסיבה ולהגיע לתוצאה.

ניסוי מרובה שלבים בלתי-תלויים[עריכה]

נקח את הדוגמא הקודמת ונשנה אותה כך שהסיכויים של דני לנצח בשח וכדורסל שווים.

בשל כך התוצאות לא משתנות אם ירד גשם והמשתנים ירד גשם ודני ינצח הם בלתי-תלויים (הוכיחו זאת לעצמכם).

נניח כי ההסתברות שדני ינצח היא 0.6.

הסתברות דני ינצח במשחק ירד גשם
0.6*0.8 לא (דני לא ינצח בכדורסל) לא
0.4 *0.8 כן (דני ינצח בכדורסל) לא
p * 0.6 לא (דני לא ינצח בשח) כן
0.4 * 0.2 כן (דני ינצח בכדורסל) כן
P(Danny) = 0.8*0.6 + 0.2*0.6 = (0.8+0.2)*0.6 = 0.6

במקרה הבלתי-תלוי החלוקה לשלבים לא הזיקה אולם הוסיפה עבודה מיותרת.

מתמטיקה היא מקצוע לעצלנים וממעבודה מיותרת עדיף להמנע.

מרחב דו-שלבי, מרחב תלת-שלבי[עריכה]

נראה שמרחב דו-שלבי ומרחב תלת שלבי הם מונחים שפותחו במשרד החינוך הישראלי.

מרחב דו-שלבי מתאר ניסוי בן שני שלבים.

מרחב תלת-שלבי מתאר ניסוי בן שלושה שלבים.

הטכניקה שהוצגה אינה תלויה במספר השלבים ותפעל גם כאשר מספר השלבים גדול יותר.

ככל שמספר השלבים גדול יותר התהליך ארוך יותר (ומוטה יותר לשגיאות, היזהרו).

ישנה גם חשיבות גדולה יותר לבחירת סדר השלבים שעשויה לצמצם משמעותית את מספר האפשרויות שיש לשקול.