מתמטיקה תיכונית/הסתברות/פעולות במאורעות

מתמטיקה תיכונית/הסתברות

מבוא למה לקרוא את הספר הזה? מהי הסתברות ומהי סטטיסטיקה? תולדות הסטטיסטיקה וההסתברות הסתברות קלאסית הקדמה מושגי יסוד בהסתברות הגדרת פונקציית ההסתברות פעולות במאורעות חישוב פונקציית ההסתברות עבור מאורעות מורכבים ניסוי מקרי מרובה שלבים מרחב הסתברות סופי תלות, מאורעות תלויים ובלתי תלויים הסתברות מותנית חוק בייס מקדם בינומי התפלגות בינומית העשרה ומעוררי עניין בחינות הבגרות השאלונים הרלבנטים הם לחמש יחידות, שאלון 806 לארבע יחידות, שאלון 804 לשלוש יחידות, שאלון 801 מקורות עזר נוספים

דיאגרמת ון

דיאגרמת ון היא דרך להציג מאורעות וקשרים ביניהם בצורה ויזואלית. הדיאגרמה היא מלבן, שבפינתו רשומה $\Omega$ - לציין שהמלבן מייצג את מרחב המדגם, את כל התוצאות האפשריות.

בתוך המלבן ניתן לצייר מאורעות. מאורע מציירים כעיגול בתוך המלבן, ובתוכו רשומה האות שמייצגת את המאורע. מיד נלמד על קשרים בין מאורעות ועל פעולות שניתן לבצע על מאורעות, וכל אלו נייצג באמצעות דיאגרמת ון.

המאורע המשלים

המאורע המשלים ל-A צבוע בירוק

המאורע המשלים מכיל את כל התוצאות במרחב המדגם שאינן חלק מהמאורע.

דוגמא: למשל, בזריקת קוביה, מרחב המדגם הוא $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$. נגדיר מאורע: $A=\{1,2\}$ . המאורע המשלים ל-A יסומן כ-${\bar {A}}$ (A עם קו מעליו). מאורע זה מכיל את כל התוצאות ממרחב המדגם שאינן ב- A. ${\bar {A}}=\{3,4,5,6\}$

דוגמא:

ניקח מחפיסת קלפים, את 13 הקלפים מסדרת לב ונטרוף את 13 הקלפים היטב. מבצעים ניסוי מקרי - בוחרים קלף אחד מתוך 13 קלפי הלב.

א. מצא את מרחב המדגם!

ב. נתון שמאורע A הוא בחירה של נסיך, מלכה או מלך לב. מצא את המאורע המשלים ל-A!

פתרון:

א. כיון שאנו בוחרים קלף אחד מתוך 13 קלפי הלב, מרחב המדגם הוא כל הקלפים מסוג לב:

$\Omega =\{2\heartsuit ,3\heartsuit ,4\heartsuit ,5\heartsuit ,6\heartsuit ,7\heartsuit ,8\heartsuit ,9\heartsuit ,10\heartsuit ,J\heartsuit ,Q\heartsuit ,K\heartsuit ,A\heartsuit \}$

ב. המאורע A הוא בחירת נסיך מלכה או מלך לב:

$A=\{J\heartsuit ,Q\heartsuit ,K\heartsuit \}$

המאורע המשלים ל-A הוא כל הקלפים ממרחב המדגם שאינם נסיך מלכה או מלך לב:

${\bar {A}}=\{2\heartsuit ,3\heartsuit ,4\heartsuit ,5\heartsuit ,6\heartsuit ,7\heartsuit ,8\heartsuit ,9\heartsuit ,10\heartsuit ,A\heartsuit \}$

מאורע חלקי

המאורע B חלקי ל-A, $B\subseteq A$.

המאורע C אינו חלקי ל-A, $C\not \subseteq A$.

כאשר אנו אומרים שמאורע B חלקי למאורע A, אנו מתכוונים שכל התוצאות במאורע B, נמצאות גם במאורע A.

למשל: אם בזריקת קוביה מוגדר מאורע $A=\{2,4,6\}$ ומאורע $B=\{2,4\}$ - נאמר שהמאורע B חלקי למאורע A. (התוצאות 2 ו- 4 של המאורע B, נמצאות גם במאורע A).

נסמן זאת כך: $B\subseteq A$ (B חלקי ל-A).

אם ב-B יש אברים (תוצאות) שאינם חלק מ-A אזי B אינו חלקי ל-A.

נסמן זאת כך: $B\not \subseteq A$ (B אינו חלקי ל-A).

דוגמא:

נתונה רולטה, ובה 51 מספרים, מ-0 עד 50. ניסוי מקרי הוא סיבוב הרולטה. כאשר הרולטה נעצרת מספר נבחר. לכל המספרים סיכוי שווה להיבחר. נתון מאורע $A=\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,31,37,43,47\}$ מצא אלו מהמאורעות הבאים חלקי ל-A.

$B=\{7,17,37,47\}$

$C=\{2,4,6,8,10\}$

$D=\{0,1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,31,37,43,47\}$

$E=\{1,3,5,7,11,13,17,19,23\}$

$F=\{43,19,13,47,2,3\}$

תשובות

$B\subseteq A$ מכיון שכל אברי B נמצאים גם ב-A.

$C\not \subseteq A$ מכיון ש-4 ו- 6 למשל, הם חלק מ-C אבל לא מ-A

$D\not \subseteq A$ מכיון ש-0 ו- 1 נמצאים ב-D ולא ב-A. מאידך גיסא, $A\subseteq D$ מכיון שכל אברי A נמצאים ב-D.

$E\not \subseteq A$ מכיון ש-1 נמצא ב-E ולא ב-A.

$F\subseteq A$ מכיון שכל אברי F נמצאים גם ב-A.

מאורעות שווים

מאורעות מורכבים הם שווים כאשר כל הם מכילים את אותם המאורעות הפשוטים.

מאורעות שווים מסומנים על ידי סימן השוויון: $A=B$ .

למשל:

בבחירת קלף מחפיסת קלפים, אם מאורע A הוא מלכה לב ומלכה מעוין, ומאורע B הוא כל המלכות האדומות, אזי המאורעות A ו- B שווים.

שימו לב שאם המאורעות שווים, בהכרח ההסתברות להם שווה. מהכיוון השני, יתכנו מאורעות שההסתברות שלהם שווה אך הם לא יהיו שווים. לדוגמא, למאורעות של קבלת מספר זוגי בקוביה וקבלת מספר גדול משלוש יש סיכוי שווה אך הם שונים.

חיתוך של מאורעות

החיתוך הוא החלק המשותף ל-A וגם ל-B.

חיתוך של מאורעות (A ו- B) הוא מאורע שמכיל רק את התוצאות שגם ב-A וגם ב-B.

חיתוך של המאורעות A ו- B מסומן כך: $A\cap B$ .

בחיתוך של מאורעות אין חשיבות לסדר: $A\cap B=B\cap A$ .

דוגמא:

בשליפת קלף מחפיסת קלפים, המאורע A הוא כל הלבבות:

$A=\{2\heartsuit ,3\heartsuit ,4\heartsuit ,5\heartsuit ,6\heartsuit ,7\heartsuit ,8\heartsuit ,9\heartsuit ,10\heartsuit ,J\heartsuit ,Q\heartsuit ,K\heartsuit ,A\heartsuit \}$

.

המאורע B הוא כל משפחת המלוכה:

$B=\{J\spadesuit ,Q\spadesuit ,K\spadesuit ,J\heartsuit ,Q\heartsuit ,K\heartsuit ,J\diamondsuit ,Q\diamondsuit ,K\diamondsuit ,J\clubsuit ,Q\clubsuit ,K\clubsuit \}$

.

חיתוך המאורעות A ו- B הוא כל התוצאות המשותפות - בני המלוכה מסדרת לב:

$A\cap B=\{J\heartsuit ,Q\heartsuit ,K\heartsuit \}$

שימו לב כי $A\cap B$ אינו יכול להיות גדול מ A או מ B. בשל כך $P(A\cap B)<=P(A),P(A\cap B)<=P(B)$.

מאורעות זרים

A ו- B זרים - אין להם אף תוצאה משותפת.

מאורעות זרים אם אין להם אף תוצאה משותפת.

חיתוך של מאורעות זרים הוא המאורע הריק.

אם A ו- B זרים אזי: $A\cap B=\phi$ .

זה מסתדר היטב עם הגדרת החיתוך שלמדנו - החיתוך הוא החלק המשותף ל-A ול-B. אם הם זרים, אין להם חלק משותף.

דוגמא:

בזריקת קוביה, המאורע A הוא המספרים הזוגיים, והמאורע B הוא המספרים האי-זוגיים.

$A=\{2,4,6\},B=\{1,3,5\},A\cap B=\phi .$

כשרושמים את התוצאות, קל לראות שאין אף תוצאה משותפת ל-A ול-B (גם אם לא רושמים, אין אף מספר שהוא גם זוגי וגם אי-זוגי). כיון שהם זרים, החיתוך שלהם הוא הקבוצה הריקה.

איחוד של מאורעות

האיחוד של A ו- B הוא כל מה שב-A ו/או ב-B

איחוד של מאורעות (A ו- B) הוא מאורע שמכיל את התוצאות שב-A ו/או ב-B.

איחוד של המאורעות A ו- B מסומן כך: $A\cup B$ .

כמו בחיתוך, באיחוד אין חשיבות לסדר: $A\cup B=B\cup A$ .

למשל:

בזריקת קוביה מוגדרים המאורעות:

$A=\{1,2\},B=\{2,3\}$

האיחוד של המאורעות הוא כל התוצאות שב-A ו/או ב-B:

$A\cup B=\{1,2,3\}$

שימו לב כי $A\cup B$ אינו יכול להיות קטן מ A או מ B. בשל כך $P(A\cup B)=>P(A),P(A\cup B)=>P(B)$.

חיסור מאורעות

$A-B$ הוא כל מה שב-A ולא ב-B.

חיסור של מאורע A ממאורע B הוא כל התוצאות שב-A ולא ב-B.

חיסור של המאורע A מהמאורע B מסומן כך: $A-B$ .

קל לשים לב שבחיסור מאורעות, יש חשיבות לסדר: $A-B\neq B-A$

למשל:

בזריקת קוביה מוגדרים המאורעות:

$A=\{1,2,3,4\},B=\{2,3,5\}$

המאורע $A-B$ הוא כל מה שב-A ולא ב-B.

$A-B=\{1,4\}$