הסתברות/תוחלת ומומנטים/אי שוויון ינסן

משפט: אי שיוויון ינסן נניח: קיים קטע $I$ כך ש$\ \mathbb {P} (X\notin I)=0$. שתי התוחלות $\ \mathbb {E} h(X)$ו $h(\mathbb {E} X)$ קיימות. אז: אם $h$ קמורה ב$I$, אז $\ \mathbb {E} h(X)\geq h(\mathbb {E} X)$. אם $h$ קמורה ממש, אז אי השוויון חד. אם $h$ קעורה ב$I$, אז $\ \mathbb {E} h(X)\leq h(\mathbb {E} X)$. אם $h$ קעורה ממש, אז אי השוויון חד.

דוגמה

(להשלים)

הוכחה

אי שוויון ינסן עבור ממוצע משוקלל.

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: אי-שוויון ינסן, פונקציה קמורה

הפרק הקודם: אי שוויון צ'בישב

אי שוויון ינסן

הפרק הבא: פונקציה יוצרת מומנטים