הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים רציפים

משתנה מקרי הוא משתנה מקרי רציף אם קבוצת הערכים שהוא יכול לקבל היא קטע רציף (סופי או אינסופי) על ציר המספרים.

הגדרה

הגדרה: משתנה מקרי רציף משתנה מקרי רציף הוא משתנה מקרי אשר מקבל ערכים מקטע רציף (סופי או אינסופי) על ציר המספרים.

לדוגמה, אם בוחרים מספר כלשהו בין 0 ל-1 באופן מקרי, אז המספר הוא משתנה מקרי רציף.

בשלב זה אפשר לשים לב להבדל עקרוני בין מ"מ בדידים לרציפים, והוא שלרוב, תוצאתו של מ"מ רציף הוא משהו שהסתברותו אפס.

דוגמה: נניח שנצביע באופן מקרי על נקודה בסרגל שאורכו 1 מטר, כלומר מספר כלשהו בין 0 ל-1: מה הסיכוי שבחרנו בנקודה 0.6? מה הסיכוי שבחרנו בנקודה 0.61? מה הסיכוי שבחרנו בנקודה 0.616? מה הסיכוי שבחרנו בנקודה 0.6169? מה הסיכוי שבחרנו בנקודה 0.61692? מה הסיכוי שבחרנו בנקודה 0.616924? ... אם נחשוב על כך מעט, הסיכוי שבחרנו בנקודה, אם נגדיר אותה בדיוק מספיק גבוה, הוא קטן ללא הגבלה.

שימו לב: רבות מתוצאותיהם של מ"מ רציפים הם ארועים המתרחשים בהסתברות 0. בניגוד לתוצאות מ"מ בדידים, אין בכך משמעות של ארוע בלתי אפשרי.

דוגמה: נניח שנצביע באופן מקרי על נקודה בסרגל שאורכו 1 מטר, כלומר מספר כלשהו בין 0 ל-1. הסיכוי שבחרנו במספר לכל היותר 0.616924, הוא 0.616924.

פונקציית ההתפלגות (הצטברות ההסתברות)

מהסיבה שהוזכרה לעיל, לרוב אין הרבה משמעות בשאלה מהו $\mathbb {P} (X=x)$ עבור מ"מ רציף: התשובה לרוב היא 0. עם זאת, יש לרוב משמעות לשאלה מהו $\mathbb {P} (X<x)$, כלומר מה ההסתברות שתוצאת המ"מ הרציף היא לכל היותר מספר כלשהו.

הגדרה: פונקציית הצטברות, התפלגות אם $X$ הוא מ"מ רציף, אז פונקציית ההצטברות שלו היא $F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leq x)$, כלומר הסיכוי שלו לקבל ערך לכל היותר $x$. נאמר גם כי המ"מ $X$ מתפלג לפי פונקציית ההצטברות.

הגדרה זו דומה להגדרה המקבילה עבור מ"מ בדיד.

תכונות

תחום פונקציית ההתפלגות הוא כמובן $\ 0\leq F_{X}(x)\leq 1\ ,\ \forall x\in \mathbb {R}$.

בנוסף, יש לה מספר תכונות.

משפט: קשר בין התפלגות להסתברות $\mathbb {P} (a\leq X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$

הוכחה: על פי ההגדרה,

$F_{X}(a)=\mathbb {P} (X\leq a),F_{X}(b)=\mathbb {P} (x\leq b)$

היות שהמאורע $a\leq X\leq b$ זר למאורע $X\leq a$, אז הסתברות איחודן, דהיינו המאורע $X\leq b$ הוא סכום הסתברויות המאורעות.

אם נמשיך הגיון זה, נגיע למשפט הבא.

משפט: גבולות התפלגות $\ \lim \limits _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0\ ,\ \lim \limits _{x\to \infty }F_{X}(x)=1$

אפשר גם לראות שההתפלגות היא פונקציה מונוטונית.

משפט: מונוטוניות פונקציית ההתפלגות אם $a<b$ אז $\ F_{X}(a)\leq F_{X}(b)$

הוכחה: במקרה זה, המאורע $X\leq a$, נכלל במאורע $X\leq b$.

פונקציית צפיפות ההסתברות

אינטואיטיבית, פונקציית הצפיפות היא ההסתברות שתוצאת המשתנה המקרי תהיה "בערך" משהו.

הגדרה: פונקציית צפיפות הצפיפות של מ"מ כלשהו מוגדר ע"י ההתפלגות בצורה עקיפה ע"י $F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(y)dy$ ולכן, בחלקים הרציפים, $f_{X}(x)=F'_{X}(x)$.

תכונות

ראשית, עפ"י ההגדרה, נקבל את התכונה הבאה.

משפט: $\ \mathbb {P} (a<X<b)=\int \limits _{a}^{b}f_{X}(x)dx$

נשים לב שלפי חדו"א, בחלקים בהם $f$ רציפה, נקבל כי עבור $\Delta x$ קטן,

$\mathbb {P} (x\leq X\leq x+\Delta x)=\int _{x}^{x+\Delta x}f_{X}(x)dx\simeq f_{X}(x)\int _{x}^{x+\Delta x}dx=f_{X}(x)\Delta _{x}$

ולכן אפשר לחשוב אינטואיטיבית ש-$f(x)dx\simeq \mathbb {P} (x\leq X\leq x+dx)$. אינטואיטיבית ניתן להסתכל על פונקציית הצפיפות כפונקציית שכיחות(היסטוגרמה) מנורמלת.

התפלגויות חשובות

התפלגויות רציפות התפלגות יוניפורמית התפלגות אקספוננציאלית התפלגות נורמלית

הפרק הקודם: משתנים מקריים בדידים

משתנים מקריים רציפים

הפרק הבא: התפלגויות משותפות ומותנות