הסתברות/מבוא/הסתברות מותנית

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כלשהו בהנחה שמאורע אחר ארע.

הגדרה[עריכה]

הגדרה: הסתברות מותנית

יהיו שני מאורעות, כך ש- . ההסתברות המותנית של בהנתן היא

כפי שאפשר לשים לב, ההסתברות המותנית אינה מוגדרת במקרה . אא"כ יצויין אחרת, נניח במובלע כי זה אינו המצב.

דוגמא[עריכה]

נניח כי בתל-אביב גרים 100 בנים, ו-20 בנות, ואילו בחיפה גרים 40 בנים ו-50 בנות. נניח כי בוחרים אדם כלשהו באקראי.

  • מה ההסתברות כי בחרנו בבת?
    • ישנן 70 בנות מתוך 210 אנשים סה"כ מהם אנו בוחרים אחד, לכן ההסתברות לבחור בת הנו , כלומר שליש.
  • מה ההסתברות כי בחרנו בבת, אם ידוע כי האדם הנבחר גר בתל-אביב?
    • כאן ההסתברות מותנית, ונחשב לפי ההגדרות לעיל. המאורע A הנו בחירת בת והמאורע B הנו שנבחר תושב תל-אביב. קל לראות כי וכן . ההסתברות הנה ההסתברות להיות בת וגם בתל אביב - ישנן 20 כאלה (מתוך אוכלוסיה של 210 סה"כ), ולכן . כעת נציב בנוסחא לעיל, ונקבל כי ההסתברות לבחור בת בהנתן שהאדם שבחרנו הוא מתל-אביב היא:

תכונות[עריכה]

המשפט הבא מראה כי כל שלוש התכונות המאפיינות הסתברות, אותן ראינו במודל ההסתברותי, מאפיינות גם הסתברות מותנית.


משפט: הסתברות מותנית היא הסתברות

נניח ש- הוא מאורע כלשהו. אז

  1. ההסתברות המותנית של מרחב המדגם שווה 1, או .
  2. לכל מאורע הסתברות מותנית אי-שלילית .
  3. אדיטיביות: עבור כל שני מאורעות זרים, הסתברות איחודם היא סכום הסתברויותיהן


בתרגיל:הסתברות מותנית היא הסתברות תתבקש להוכיח זאת.

מאותה סיבה, גם שאר התכונות של הסתברות מתקיימות לגבי הסתברות מותנית, כפי שאפשר לראות לדוגמה במשפט הבא.



משפט: הסתברות מותנית של משלים

בתרגיל:הסתברות מותנית של משלים תתבקש להוכיח זאת.

הסתברות מותנית של מאורעות בלתי-תלויים[עריכה]

התניה במאורע בלתי תלוי אינה משנה את ההסתברות:


משפט:

אם מאורעות בלתי תלויים, אז


הוכחה:

מש"ל.PNG

המקרה האקראי הסימטרי[עריכה]

במודל ההסתברותי ראינו שבמקרה מרחב המדגם הסימטרי, הסתברות הנה פרופורציה. נראה שהתכונה מתקיימת גם עבור הסתברות מותנית.

Set intersection.svg

נתבונן בתרשים בצד שמאל. לפי ההגדרה, ההסתברות המותנית הנה .

כלומר, בהנחה ש- ארע, אז מדובר בפרופורציה של השטח שמשותף גם ל- , כלומר הפרופורציה של בהנחה שיש לבחור מתוך .

קישורים חיצוניים[עריכה]


הפרק הקודם:
אי תלות בין מאורעות
הסתברות מותנית
תרגילים
הפרק הבא:
נוסחת ההסתברות השלמה