הסתברות/מבוא/הסתברות מותנית

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כלשהו בהנחה שמאורע אחר ארע.

הגדרה[עריכה]

הגדרה: ההסתברות מותנית

יהיו A ו- B שני מאורעות, כך ש-\mathbb{P}(B)\ne 0. ההסתברות המותנית של A בהנתן B היא \mathbb{P}(A|B)\equiv\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}

כפי שאפשר לשים לב, ההסתברות המותנית אינה מוגדרת במקרה \mathbb{P}(B)=0 . אא"כ יצויין אחרת, נניח במובלע כי זה אינו המצב.

דוגמא[עריכה]

נניח כי בתל-אביב גרים 100 בנים, ו-20 בנות, ואילו בחיפה גרים 40 בנים ו-50 בנות. נניח כי בוחרים אדם כלשהו באקראי.

  • מה ההסתברות כי בחרנו בבת?
    • ישנן 70 בנות מתוך 210 אנשים סה"כ מהם אנו בוחרים אחד, לכן ההסתברות לבחור בת הינו 70/210, כלומר שליש.
  • מה ההסתברות כי בחרנו בבת, אם ידוע כי האדם הנבחר גר בתל-אביב?
    • כאן ההסתברות מותנית, ונחשב לפי ההגדרות לעיל. המאורע A הינו בחירת בת והמאורע B הינו שנבחר תושב תל-אביב. קל לראות כי P(A)=\tfrac13 וכן P(B)=\tfrac{120}{210}=\tfrac47. ההסתברות P(A\cap B) הנה ההסתברות להיות בת וגם בתל אביב - ישנן 20 כאלה (מתוך אוכלוסיה של 210 סה"כ), ולכן P(A\cap B)=\tfrac{2}{21} . כעת נציב בנוסחה לעיל, ונקבל כי ההסתברות לבחור בת בהנתן שהאדם שבחרנו הוא מתל-אביב היא:
      P(A\mid B)=\frac{\tfrac{2}{21}}{\tfrac47}=\tfrac16


תכונות[עריכה]

המשפט הבא מראה כי כל שלוש התכונות המאפיינות הסתברות, אותן ראינו במודל ההסתברותי, מאפיינות גם הסתברות מותנית.


משפט: הסתברות מותנית היא הסתברות

נניח ש-B הוא מאורע כלשהו. אז

  1. ההסתברות המותנית של מרחב המדגם שווה 1, או \mathbb{P}(\Omega|B)=1.
  2. לכל מאורע הסתברות מותנית אי-שלילית \forall{A\subseteq \Omega}\quad 0\le\mathbb{P}(A|B)\le 1.
  3. אדיטיביות: עבור כל שני מאורעות זרים, הסתברות איחודם היא סכום הסתברויותיהן \forall{A_1,A_2\subseteq\Omega}\;\text{ s.t. }A_1\cap A_2=\emptyset\quad\Rightarrow\quad\mathbb{P}(A_1\cup A_2|B)=\mathbb{P}(A_1|B)+\mathbb{P}(A_2|B)


בתרגיל:הסתברות מותנית היא הסתברות תתבקש להוכיח זאת.

מאותה סיבה, גם שאר התכונות של הסתברות מתקיימות לגבי הסתברות מותנית, כפי שאפשר לראות לדוגמה במשפט הבא.



משפט: הסתברות מותנית של משלים

\mathbb{P}(A^c|B)=1-\mathbb{P}(A|B)


בתרגיל:הסתברות מותנית של משלים תתבקש להוכיח זאת.

הסתברות מותנית של מאורעות בלתי תלויים[עריכה]

התניה במאורע בלתי תלוי אינה משנה את ההסתברות:


משפט:

אם A ו-B מאורעות בלתי תלויים, אז

  1. \mathbb{P}(A|B)=\mathbb{P}(A)
  2. \mathbb{P}(A|B^c)=\mathbb{P}(A)


הוכחה: \mathbb{P}(A|B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}=\frac{\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(B)}=\mathbb{P}(A).

מש"ל.PNG

המקרה האקראי הסימטרי[עריכה]

במודל ההסתברותי ראינו שבמקרה מרחב המדגם הסימטרי, הסתברות הנה פרופורציה. נראה שהתכונה מתקיימת גם עבור הסתברות מותנית.

Set intersection.svg

נתבונן בתרשים בצד שמאל. לפי ההגדרה, ההסתברות המותנית הנה \mathbb{P}(A|B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}=\frac{\frac{|A\cap B|}{|\Omega|}}{\frac{|B|}{|\Omega|}}=\frac{|A\cap B|}{|B|}.

כלומר, בהנחה ש-B ארע, אז מדובר בפרופורציה של השטח שמשותף גם ל- A , כלומר הפרופורציה של A בהנחה שיש לבחור מתוך B.

קישורים חיצוניים[עריכה]


הפרק הקודם:
אי תלות בין מאורעות
הסתברות מותנית
תרגילים
הפרק הבא:
נוסחת ההסתברות השלמה