הסתברות/מבוא/הסתברות מותנית

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כלשהו בהנחה שמאורע אחר ארע.

הגדרה[עריכה]

הגדרה: הסתברות מותנית

יהיו שני מאורעות, כך ש- . ההסתברות המותנית של בהנתן היא

כפי שאפשר לשים לב, ההסתברות המותנית אינה מוגדרת במקרה . אא"כ יצויין אחרת, נניח במובלע כי זה אינו המצב.

דוגמא[עריכה]

נניח כי בתל-אביב גרים 100 בנים, ו-20 בנות, ואילו בחיפה גרים 40 בנים ו-50 בנות. נניח כי בוחרים אדם כלשהו באקראי.

  • מה ההסתברות כי בחרנו בבת?
    • ישנן 70 בנות מתוך 210 אנשים סה"כ מהם אנו בוחרים אחד, לכן ההסתברות לבחור בת הנו , כלומר שליש.
  • מה ההסתברות כי בחרנו בבת, אם ידוע כי האדם הנבחר גר בתל-אביב?
    • כאן ההסתברות מותנית, ונחשב לפי ההגדרות לעיל. המאורע A הנו בחירת בת והמאורע B הנו שנבחר תושב תל-אביב. קל לראות כי וכן . ההסתברות הנה ההסתברות להיות בת וגם בתל אביב - ישנן 20 כאלה (מתוך אוכלוסיה של 210 סה"כ), ולכן . כעת נציב בנוסחא לעיל, ונקבל כי ההסתברות לבחור בת בהנתן שהאדם שבחרנו הוא מתל-אביב היא:

- הערה: למיטב הבנתי, ישנה דרך חישוב פשוטה יותר מהדרך המוצגת ממעל למצב בו בודקים את ההסתברות לבחירת בת שגרה בתל אביב, אין צורך בחילוץ שלבי הנוסחא אלא בהבנה פשוטה לגבי מרחב המדגם הרלוונטי, כעת מרחב המדגם הינו אוכלוסיית תל-אביב בלבד = 120 איש (ידוע כי האדם הנבחר גר בתל-אביב) ואוכלוסיית הבנות הרלוונטית היא 20 ולכן ללא כל שלבי הביניים ניתן להגיע לצעד זה: כלומר- מדובר בתלות שלילית, מאחר וההסתברות למאורע A בהינתן מאורע B, קטנה בהשוואה למצב בו לא ניתן מאורע B:

תכונות[עריכה]

המשפט הבא מראה כי כל שלוש התכונות המאפיינות הסתברות, אותן ראינו במודל ההסתברותי, מאפיינות גם הסתברות מותנית.


משפט: הסתברות מותנית היא הסתברות

נניח ש- הוא מאורע כלשהו. אז

  1. ההסתברות המותנית של מרחב המדגם שווה 1, או .
  2. לכל מאורע הסתברות מותנית אי-שלילית .
  3. אדיטיביות: עבור כל שני מאורעות זרים, הסתברות איחודם היא סכום הסתברויותיהן


בתרגיל:הסתברות מותנית היא הסתברות תתבקש להוכיח זאת.

מאותה סיבה, גם שאר התכונות של הסתברות מתקיימות לגבי הסתברות מותנית, כפי שאפשר לראות לדוגמה במשפט הבא.



משפט: הסתברות מותנית של משלים

בתרגיל:הסתברות מותנית של משלים תתבקש להוכיח זאת.

הסתברות מותנית של מאורעות בלתי-תלויים[עריכה]

התניה במאורע בלתי תלוי אינה משנה את ההסתברות:


משפט:

אם מאורעות בלתי תלויים, אז


הוכחה:

מש"ל.PNG

המקרה האקראי הסימטרי[עריכה]

במודל ההסתברותי ראינו שבמקרה מרחב המדגם הסימטרי, הסתברות הנה פרופורציה. נראה שהתכונה מתקיימת גם עבור הסתברות מותנית.

Set intersection.svg

נתבונן בתרשים בצד שמאל. לפי ההגדרה, ההסתברות המותנית הנה .

כלומר, בהנחה ש- ארע, אז מדובר בפרופורציה של השטח שמשותף גם ל- , כלומר הפרופורציה של בהנחה שיש לבחור מתוך .

קישורים חיצוניים[עריכה]


הפרק הקודם:
אי תלות בין מאורעות
הסתברות מותנית
תרגילים
הפרק הבא:
נוסחת ההסתברות השלמה