הסתברות/מבוא/הסתברות מותנית

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כלשהו בהנחה שמאורע אחר ארע.

הגדרה[עריכה]

הגדרה: הסתברות מותנית

יהיו שני מאורעות, כאשר . ההסתברות המותנית של בהנתן היא

כפי שאפשר לשים לב, ההסתברות המותנית אינה מוגדרת במקרה . אא"כ יצוין אחרת, נניח במובלע כי זה אינו המצב.

דוגמא[עריכה]

נניח כי בתל־אביב גרים 100 בנים ו־20 בנות, ואילו בחיפה גרים 40 בנים ו־50 בנות. נניח כי בוחרים אדם כלשהו באקראי.

  • מה ההסתברות כי בחרנו בבת?
    • ישנן 70 בנות מתוך 210 אנשים סה"כ מהם אנו בוחרים אחד, לכן ההסתברות לבחור בת הוא , כלומר שליש.
  • מה ההסתברות כי בחרנו בבת, אם ידוע כי האדם הנבחר גר בתל־אביב?
    • כאן ההסתברות מותנית, ונחשב לפי ההגדרות לעיל. המאורע A הוא בחירת בת והמאורע B הוא שנבחר תושב תל־אביב. קל לראות כי וכן . ההסתברות היא ההסתברות להיות בת וגם בתל־אביב – ישנן 20 כאלה (מתוך אוכלוסיה של 210 סה"כ), ולכן . כעת נציב בנוסחא לעיל, ונקבל כי ההסתברות לבחור בת בהנתן שהאדם שבחרנו הוא מתל־אביב היא:

תכונות[עריכה]

המשפט הבא מראה כי כל שלוש התכונות המאפיינות הסתברות, אותן ראינו במודל ההסתברותי, מאפיינות גם הסתברות מותנית.


משפט: הסתברות מותנית היא הסתברות

נניח כי הוא מאורע כלשהו. אז

  1. ההסתברות המותנית של מרחב המדגם שווה 1, או .
  2. לכל מאורע הסתברות מותנית אי־שלילית .
  3. אדיטיביות: עבור כל שני מאורעות זרים, הסתברות איחודם היא סכום הסתברויותיהן


בתרגיל:הסתברות מותנית היא הסתברות תתבקש להוכיח זאת.

מאותה סיבה, גם שאר התכונות של הסתברות מתקיימות לגבי הסתברות מותנית, כפי שאפשר לראות לדוגמה במשפט הבא.



משפט: הסתברות מותנית של משלים

בתרגיל:הסתברות מותנית של משלים תתבקש להוכיח זאת.

הסתברות מותנית של מאורעות בלתי־תלויים[עריכה]

התניה במאורע בלתי־תלוי אינה משנה את ההסתברות:


משפט:

אם מאורעות בלתי־תלויים, אז


הוכחה:

המקרה האקראי הסימטרי[עריכה]

במודל ההסתברותי ראינו שבמקרה מרחב המדגם הסימטרי, הסתברות היא פרופורציה. נראה שהתכונה מתקיימת גם עבור הסתברות מותנית.

נתבונן בתרשים בצד שמאל. לפי ההגדרה, ההסתברות המותנית הנה .

כלומר, בהנחה ש־ ארע, אז מדובר בפרופורציה של השטח שמשותף גם ל־, כלומר הפרופורציה של בהנחה שיש לבחור מתוך .

קישורים חיצוניים[עריכה]


הפרק הקודם:
אי תלות בין מאורעות
הסתברות מותנית
תרגילים
הפרק הבא:
נוסחת ההסתברות השלמה