הסתברות/משתנים מקריים

בחלק המבוא ראינו כי לניסוי יש תוצאות. ממרחב המדגם של התוצאות, $\mathrm{\Omega }$, מרכיבים מאורעות, ולמאורעות מרכיבים פונקציית הסתברות.

חלק זה דן במשתנים מקריים. אינטואיטיבית, משתנה מקרי הוא פונקציה המתאימה לכל תוצאת ניסוי ערך מספרי, לדוגמה, התאמת הערך 0 לתוצאת "עץ" בהטלת מטבע, ו-1 לתוצאת "פאלי", או התאמת 0 לכל התוצאות הזוגיות של הטלת קוביה, ו-1 לכל התוצאות האי זוגיות. הדבר יאפשר לנו לענות על שאלות כגון:

1. מה הסיכוי שהתוצאה שהתקבלה הותאמה לערך בין $a$ ל-$b$ כלשהם?
2. מה הערך הממוצע שנצפה לקבל מההתאמות שינבעו ממספר רב של תוצאות?

הגדרות

הגדרה: משתנה מקרי משתנה מקרי הוא התאמה של כל תוצאה אפשרית ממרחב המדגם לתוצאה מספרית. $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$. לרוב נציין משתנה מקרי באות גדולה, לדוגמה $X$, וערך ספיציפי של משתנה מקרי באות קטנה, לדוגמה $x$. ההגדרה המדוייקת שונה מעט, בצורה שלא תשנה ממש בספר זה. משתנה מקרי הוא פונקציה מדידה ממרחב הסתברות $\mathrm{\Omega }$ למרחב מדיד כלשהו, בדרך כלל המספרים הממשיים עם ה-σ-אלגברה של בורל. במקרה כזה המשתנה המקרי נקרא משתנה מקרי ממשי. הדרישה שהפונקציה מדידה מבטיחה שאפשר יהיה לחשב את ההסתברות למאורעות $a<X<b$, כלומר $\{\omega \in \mathrm{\Omega }:a<X(\omega )<b\}$. כאשר מרחב ההסתברות הוא בדיד, כל הפונקציות ממנו מדידות, ולכן כל פונקציה יכולה להחשב משתנה מקרי.

התומך הוא התחום שבו משתנה מקרי יכול לקבל ערכים.

הגדרה: תומך יהי $X$ מ"מ. נאמר ש-$X$ נתמך בקטע $[a,b]$ אם $\mathbb{P}(X\in ̸[a,b])=0$. התומך של $X$ הוא הקטע הסגור הקטן ביותר בו $X$ נתמך.

דוגמאות

תוצאת קוביה

בזריקת קוביה, קבוצת המדגם היא $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$.

נוכל להגדיר את משתנה מקרי $X$ על ידי זאת ש-$X$ שווה לתוצאת הקוביה. במקרה זה, אם הקוביה הוגנת, נוכל לכתוב:

1. $\mathbb{P}(X=3)=\frac{1}{6}$
2. $\mathbb{P}(X<3)=\frac{1}{3}$ (מפני שמדובר ב-2 מאורעות במרחב סימטרי בעל 6 איברים)

לחלופין, נוכל להגדיר משתנה מקרי $Y$ על ידי זאת ש-$Y$ שווה ל-0 אם התוצאה זוגית, ו-1 אם התוצאה אי-זוגית. במקרה זה, אם הקוביה הוגנת, נוכל לכתוב:

1. $\mathbb{P}(Y=3)=0$ (המשתנה אינו מקבל ערך זה)
2. $\mathbb{P}(Y<3)=1$ (המשתנה מקבל רק את הערכים 0 ו-1, ולכן כל תוצאה תצא פחות מ3)
3. $\mathbb{P}(Y=0)=\mathbb{P}(Y=1)=\frac{1}{2}$ (מפני שמדובר ב-3 מאורעות במרחב סימטרי בעל 6 איברים)

תוצאות הטלות מטבעות

נניח שזורקים מטבע $n$ פעמים. נשים לב שכאן כל תוצאה ב-$\mathrm{\Omega }$ היא רצף של $n$ תוצאות "עץ" ו"פאלי". נוכל להגדיר משתנה מקרי $X$ המתאר את מספר תוצאות "עץ" מתוך $n$ ההטלות. בהמשך נראה כי אם סיכוי ה"עץ" בהטלה בודדת הוא $p$, וסיכוי ה"פאלי" הוא $q=1-p$, אז

$\mathbb{P}(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-k}$.

בחירת מספר בקטע

נניח שבוחרים מספר באופן מקרי בין $-1$ ל-$1$. קבוצת המדגם היא

$\mathrm{\Omega }=\{x|-1\le x\le 1\}$.

נוכל להגדיר את משתנה מקרי $X$ על ידי זאת ש-$X$ שווה למספר שנבחר במקרה זה נוכל לכתוב:

1. $\mathbb{P}(X<0)=\frac{1}{2}$ (משיקולי סימטריה)
2. $\mathbb{P}(X=0)=0$ (הסיכוי שייבחר בדיוק מספר כלשהו, לדוגמה 0, הוא 0)

לחלופין, נוכל להגדיר משתנה מקרי $Y$ על ידי זאת ש-$Y$ שווה לערכו המוחלט של המספר שנבחר. במקרה זה נוכל לכתוב:

1. $\mathbb{P}(Y<0)=0$ (המשתנה אינו מקבל ערך זה)

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: משתנה מקרי

הפרק הקודם: דוגמה מסכמת - ניסויי ברנולי

משתנים מקריים

הפרק הבא: משתנים מקריים בדידים