הסתברות/מבוא/דוגמה מסכמת - ניסויי ברנולי

נסיים חלק זה בדוגמה שתסכם את הנקודות שראינו - ניסויי ברנולי.

הגדרות

הגדרה: ניסויי ברנולי ניסוי ברנולי הוא ניסוי בעל שתי תוצאות: "הצלחה" ו"כשלון". נסמן את הסתברות ההצלחה ב-$p$, והסתברות הכשלון ב-$q=1-p$.

אפשר, לדוגמה, לחשוב על הטלת מטבע כניסוי ברנולי. נגדיר (שרירותית) תוצאת "עץ" כ"הצלחה". אם המטבע הוגן, אז, $p=q=0.5$.

אם נחזור על הניסוי יותר מפעם אחת, באופן בלתי תלוי, נקבל רצף ניסויי ברנולי.

הגדרה: רצף ניסויי ברנולי רצף ניסוי ברנולי הוא רצף ניסויים בלתי תלוי של אותו ניסוי ברנולי.

לדוגמה, אם נטיל אותו מטבע 10 פעמים ברצף, קבלנו רצף ניסויי ברנולי.

למען הנוחות, נסמן "הצלחה" כ-1 ו"כשלון" כ-0.

הסתברות לקבלת סדרה נתונה ברצף ניסויי ברנולי

נניח שנבצע את הניסוי 5 פעמים. מה ההסתברות שסדרת התוצאות תהיה $x=00101$ (שני כשלונות, הצלחה, כשלון, ועוד הצלחה)?

משפט: ההסתברות לסדרת תוצאות של $n$ ניסויים מתוכם k היו הצלחה (ושאר $n-k$ הניסויים היו כשלון) היא $p^{k}q^{n-k}.$

הוכחה: נגדיר כ-$X_{i}$ את המאורע בו הניסוי ה-$i$ הצליח, וכ-$X'_{i}$ את המאורע בו הניסוי ה-$i$ נכשל. בסדרה ספיציפית, אנו מחפשים, בהתאם לסדרה, משהו בצורה

$\mathbb {P} (X'_{1}\cap X'_{2}\cap X_{3}\cap X'_{4}\cap X_{5})$

לפי הגדרתנו, מדובר במאורעות בלתי תלויים, ולכן מדובר במכפלת ההתסברויות:

$\mathbb {P} (X'_{1}\cap X'_{2}\cap X_{3}\cap X'_{4}\cap X_{5})=\mathbb {P} (X'_{1})\mathbb {P} (X'_{2})\mathbb {P} (X_{3})\mathbb {P} (X'_{4})\mathbb {P} (X_{5}).$

אם יש $k$ הצלחות ו-$n-k$ כשלונות, נקבל $k$ מכפלות של $p$ ו-$n-k$ מכפלות של $q$.

הסתברות לקבלת מספר הצלחות נתון

נניח שנבצע את הניסוי 5 פעמים. מה ההסתברות שנקבל שבסדרת התוצאות תהיינה בדיוק שתי הצלחות?

משפט: ההסתברות ל-$k$ הצלחות מתוך $n$ ניסויי ברנולי היא ${n \choose k}p^{k}q^{n-k}$

הוכחה: נשים לב שברצף ניסויי ברנולי, מרחב המדגם $\Omega$ הוא אוסף הסדרות בעלות $n$ איברים. המאורעות בהם נוצרות סדרות שונות, הם מאורעות זרים (מפני שאו שנוצרת סדרה אחת, או סדרה אחרת). אם נסמן את הסדרות באורך $n$ שבהן יש $k$ הצלחות כ-$y_{1},\ldots ,y_{\ell }$, ונסמן בהתאמה $Y_{i}=\{y_{i}\}$ בתור המאורע שקיבלנו את התוצאה $y_{i}$, אז

$\mathbb {P} (Y_{1})=\cdots =\mathbb {P} (Y_{\ell })=p^{k}q^{n-k}$,

(כך ראינו לעיל), והיות שהמאורעות זרים,

$\mathbb {P} (\bigcup _{i=1,\ldots ,\ell }Y_{i})=\sum _{i=1}^{\ell }\mathbb {P} (Y_{i})=\ell p^{k}q^{n-k}$.

קומבינטורית, ידוע כי $\ell ={n \choose k}$.

הסיכוי להצלחה ראשונה בניסוי כלשהו

מה הסיכוי שהניסוי יצליח לראשונה בפעם ה-$k$?

משפט: הסיכוי להצלחה בפעם ה-$k$ הוא $q^{k-1}p$

הוכחה: ארוע זה מתאים בדיוק לארוע בו מתקבלת הסדרה $0\cdots 01$ (כלומר, $k-1$ אפסים ואז 1 יחיד). ראינו כבר שזו ההסתברות לסדרה זו.

לחלופין, מה הסיכוי ש-$k-1$ הנסיונות הראשונים ייכשלו? התשובה היא כמובן $q^{k-1}$. אפשר לראות זאת בשני אופנים שונים, שכ"א מהם מתאים לאינטרפרטציה שונה של מרחב המדגם.

הוכחה: נגדיר את מרחב המדגם כרצף באורך $k-1$ של תוצאות. במרחב מדגם זה, יש רק איבר יחיד המתאים - רצף של $k-1$ כשלונות. ראינו שההסתברות לרצף זה היא $q^{k-1}$.

לחלופין, נגדיר את מרחב המדגם ככל הרצפים האפשריים עד ההצלחה הראשונה. במרחב מדגם זה, יש מספר איברים מתאימים:

1. הרצף המורכב מ-$k-1$ כשלונות ולאחריהן הצלחה.
2. הרצף המורכב מ-$k$ כשלונות ולאחריהן הצלחה.
3. הרצף המורכב מ-$k+1$ כשלונות ולאחריהן הצלחה.
4. וכו'

היות שהמאורעות זרים, נחבר את הסתברויותיהם:

$\mathbb {P} (q^{k-1}p)+\mathbb {P} (q^{k}p)+\mathbb {P} (q^{k+1}p)+\cdots =pq^{k-1}[1+q+q^{2}+\cdots ]=pq^{k-1}{\frac {1}{1-q}}=q^{k-1}$

הסיכוי להצלחה ראשונה בניסוי זוגי

משפט: הסיכוי להצלחה ראשונה בניסוי זוגי היא ${\frac {1-p}{2-p}}$.

נוכיח זאת בעזרת נוסחת ההסתברות השלמה.

הוכחה: נגידר את $H_{1}$ כמאורע בו מצליחים בניסוי הראשון, ואת $E$ כמאורע בו ההצלחה הראשונה היא בניסוי זוגי. לפי משפט ההסתברות השלמה,

$\mathbb {P} (E)=\mathbb {P} (E|H_{1})\mathbb {P} (H_{1})+\mathbb {P} (E|H_{1}^{c})\mathbb {P} (H_{1}^{c})=\mathbb {P} (E|H_{1})p+\mathbb {P} (E|H_{1}^{c})q.$

כעת

$\mathbb {P} (E|H_{1})=0$

מפני שאם הניסוי הראשון הצליח, ההצלחה הראשונה לא היתה בניסוי זוגי. בנוסף,

$\mathbb {P} (E|H_{1}^{c})=1-\mathbb {P} (E^{c})$

מפני שאם הניסוי הראשון נכשל, אז הסיכוי שהניסוי הראשון שהצליח הוא זוגי סה"כ, הוא הסיכוי שהניסוי הראשון שהצליח הוא אי-זוגי החל מהנסיון הראשון (שנכשל).

התוצאה מתקבלת משילוב שתי הנוסחאות,

$\mathbb {P} (E)=(1-\mathbb {P} (E))q$

וחילוץ $\mathbb {P} (E)$.

הסיכוי שמטבע ייצר סדרת תוצאות

נניח שיש לנו שני מטבעות. לראשון תוצאת "עץ" בהסתברות $p_{1}$, ולשני תוצאת "עץ" בהסתברות $p_{2}$. בוחרים בהסתברות $p$ את המטבע הראשון(ובהסתברות $1-p$ את השני), ומטילים $n$ הטלות. מתוכן יצאו $k$ תוצאות "עץ". מה הסיכוי שמדובר במטבע הראשון?

נשתמש בנוסחת בייס.

נסמן כ-$B$ את הארוע בו ארעה סדרת התוצאות הנ"ל. נסמן ב-$A_{1}$ וב-$A_{2}$ את הסיכוי שנבחר המטבע הראשון והשני, בהתאמה.

נניח שידוע שהמטבע הראשון נבחר. הסיכוי לתוצאה הוא

$\mathbb {P} (B|A_{1})={n \choose k}p_{1}^{k}(1-p_{1})^{n-k}$.

באותו האופן, אם נבחר המטבע השני, הסיכוי לתוצאה הוא

$\mathbb {P} (B|A_{2})={n \choose k}p_{2}^{k}(1-p_{2})^{n-k}$.

נציב בגרסת ההסתברות השלימה של נוסחת בייס, ונקבל

$\mathbb {P} (A_{1}|B)={\frac {\mathbb {P} (B|A_{1})\mathbb {P} (A_{1})}{\mathbb {P} (B|A_{1})\mathbb {P} (A_{1})+\mathbb {P} (B|A_{2})\mathbb {P} (A_{2})}}={\frac {p_{1}^{k}(1-p_{1})^{n-k}p}{p_{1}^{k}(1-p_{1})^{n-k}p+p_{2}^{k}(1-p_{2})^{n-k}(1-p)}}$

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: ניסויי ברנולי

הפרק הקודם: נוסחת בייס

דוגמה מסכמת - ניסויי ברנולי

הפרק הבא: משתנים מקריים