הסתברות/מבוא/דוגמה מסכמת - ניסויי ברנולי

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

נסיים חלק זה בדוגמה שתסכם את הנקודות שראינו - ניסויי ברנולי.

הגדרות[עריכה]

הגדרה: ניסויי ברנולי

ניסוי ברנולי הוא ניסוי בעל שתי תוצאות: "הצלחה" ו"כשלון".

נסמן את הסתברות ההצלחה ב-, והסתברות הכשלון ב-.

אפשר, לדוגמה, לחשוב על הטלת מטבע כניסוי ברנולי. נגדיר (שרירותית) תוצאת "עץ" כ"הצלחה". אם המטבע הוגן, אז, .


אם נחזור על הניסוי יותר מפעם אחת, באופן בלתי תלוי, נקבל רצף ניסויי ברנולי.

הגדרה: רצף ניסויי ברנולי

רצף ניסוי ברנולי הוא רצף ניסויים בלתי תלוי של אותו ניסוי ברנולי.

לדוגמה, אם נטיל אותו מטבע 10 פעמים ברצף, קבלנו רצף ניסויי ברנולי.

למען הנוחות, נסמן "הצלחה" כ-1 ו"כשלון" כ-0.

הסתברות לקבלת סדרה נתונה ברצף ניסויי ברנולי[עריכה]

נניח שנבצע את הניסוי 5 פעמים. מה ההסתברות שסדרת התוצאות תהיה (שני כשלונות, הצלחה, כשלון, ועוד הצלחה)?



משפט:

ההסתברות לסדרת תוצאות של ניסויים מתוכם k היו הצלחה (ושאר הניסויים היו כשלון) היא


הוכחה: נגדיר כ- את המאורע בו הניסוי ה- הצליח, וכ- את המאורע בו הניסוי ה- נכשל. בסדרה ספיציפית, אנו מחפשים, בהתאם לסדרה, משהו בצורה

לפי הגדרתנו, מדובר במאורעות בלתי תלויים, ולכן מדובר במכפלת ההתסברויות:

אם יש הצלחות ו- כשלונות, נקבל מכפלות של ו- מכפלות של .

מש"ל.PNG

הסתברות לקבלת מספר הצלחות נתון[עריכה]

נניח שנבצע את הניסוי 5 פעמים. מה ההסתברות שנקבל שבסדרת התוצאות תהיינה בדיוק שתי הצלחות?



משפט:

ההסתברות ל- הצלחות מתוך ניסויי ברנולי היא


הוכחה: נשים לב שברצף ניסויי ברנולי, מרחב המדגם הוא אוסף הסדרות בעלות איברים. המאורעות בהם נוצרות סדרות שונות, הם מאורעות זרים (מפני שאו שנוצרת סדרה אחת, או סדרה אחרת). אם נסמן את הסדרות באורך שבהן יש הצלחות כ-, ונסמן בהתאמה בתור המאורע שקיבלנו את התוצאה , אז

,

(כך ראינו לעיל), והיות שהמאורעות זרים,

.

קומבינטורית, ידוע כי .

מש"ל.PNG

הסיכוי להצלחה ראשונה בניסוי כלשהו[עריכה]

Nuvola apps kcmsystem.png דף זה זקוק לעריכה, על מנת שיתאים לסטנדרטים של ויקיספר העברי
הסיבה לכך היא מה מרחב המדגם? האם k ניסויים? או n ניסויים? אולי אינסוף ניסויים?. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו.



מה הסיכוי שהניסוי יצליח לראשונה בפעם ה-?



משפט:

הסיכוי להצלחה בפעם ה- הוא


הוכחה: ארוע זה מתאים בדיוק לארוע בו מתקבלת הסדרה (כלומר, אפסים ואז 1 יחיד). ראינו כבר שזו ההסתברות לסדרה זו.

מש"ל.PNG

לחלופין, מה הסיכוי ש- הנסיונות הראשונים ייכשלו? התשובה היא כמובן . אפשר לראות זאת בשני אופנים שונים, שכ"א מהם מתאים לאינטרפרטציה שונה של מרחב המדגם.


הוכחה: נגדיר את מרחב המדגם כרצף באורך של תוצאות. במרחב מדגם זה, יש רק איבר יחיד המתאים - רצף של כשלונות. ראינו שההסתברות לרצף זה היא .

לחלופין, נגדיר את מרחב המדגם ככל הרצפים האפשריים עד ההצלחה הראשונה. במרחב מדגם זה, יש מספר איברים מתאימים:

  1. הרצף המורכב מ- כשלונות ולאחריהן הצלחה.
  2. הרצף המורכב מ- כשלונות ולאחריהן הצלחה.
  3. הרצף המורכב מ- כשלונות ולאחריהן הצלחה.
  4. וכו'

היות שהמאורעות זרים, נחבר את הסתברויותיהם:


מש"ל.PNG

הסיכוי להצלחה ראשונה בניסוי זוגי[עריכה]

משפט:

הסיכוי להצלחה ראשונה בניסוי זוגי היא

.


נוכיח זאת בעזרת נוסחת ההסתברות השלמה.


הוכחה: נגידר את כמאורע בו מצליחים בניסוי הראשון, ואת כמאורע בו ההצלחה הראשונה היא בניסוי זוגי. לפי משפט ההסתברות השלמה,

כעת

מפני שאם הניסוי הראשון הצליח, ההצלחה הראשונה לא היתה בניסוי זוגי. בנוסף,

מפני שאם הניסוי הראשון נכשל, אז הסיכוי שהניסוי הראשון שהצליח הוא זוגי סה"כ, הוא הסיכוי שהניסוי הראשון שהצליח הוא אי-זוגי החל מהנסיון הראשון (שנכשל).

התוצאה מתקבלת משילוב שתי הנוסחאות,

וחילוץ .

מש"ל.PNG

הסיכוי שמטבע ייצר סדרת תוצאות[עריכה]

נניח שיש לנו שני מטבעות. לראשון תוצאת "עץ" בהסתברות , ולשני תוצאת "עץ" בהסתברות . בוחרים בהסתברות את המטבע הראשון(ובהסתברות את השני), ומטילים הטלות. מתוכן יצאו תוצאות "עץ". מה הסיכוי שמדובר במטבע הראשון?

נשתמש בנוסחת בייס.

נסמן כ- את הארוע בו ארעה סדרת התוצאות הנ"ל. נסמן ב- וב- את הסיכוי שנבחר המטבע הראשון והשני, בהתאמה.

נניח שידוע שהמטבע הראשון נבחר. הסיכוי לתוצאה הוא

.

באותו האופן, אם נבחר המטבע השני, הסיכוי לתוצאה הוא

.

נציב בגרסת ההסתברות השלימה של נוסחת בייס, ונקבל

קישורים חיצוניים[עריכה]



הפרק הקודם:
נוסחת בייס
דוגמה מסכמת - ניסויי ברנולי הפרק הבא:
משתנים מקריים