הסתברות/תוחלת ומומנטים/אי שוויון מרקוב

אי שיוויון מרקוב נותן חסם על ההסתברות שמשתנה מקרי כלשהו יעבור קבוע מסויים.

משפט: אי שיוויון מרקוב יהי X מ"מ ו-a>0 אז מתקיים: $\mathbb {P} (|X|\geq a)\leq {\frac {\mathbb {E} (|X|)}{a}}$.

דרך נוספת לחשוב על אי השוויון היא זו: אם במקום $\ a$ נציב $\ a\mathbb {E} (|X|)$, נקבל את הניסוח הבא של אי השוויון:

• $\mathbb {P} (|X|\geq a\mathbb {E} (|X|))\leq {\frac {1}{a}}$

כעת ניתן לחשוב על אי השוויון כחוסם את ההסתברות שהמשתנה המקרי יסטה מהתוחלת שלו. למשל, ההסתברות לכך שהמשתנה המקרי יקבל ערך הגדול פי שתיים מהתוחלת שלו קטנה מחצי.

לאי שוויון מרקוב חשיבות תיאורטית רבה, והוא משמש כבסיס להוכחת חסמים רבים אחרים, שלרוב מספקים הערכה מדוייקת יותר ממנו של החסם העליון האמיתי.

דוגמה

מעלית מסוגלת לשאת עד 700 ק"ג. נניח כעת שנכנסים למעלית שמונה אנשים, שתוחלת המשקל שלהם היא $70.5$. אנו מעוניינים בחסם עליון על ההסתברות שהמעלית תקרוס (כלומר, שהמשקל הכולל של האנשים בתוכה יהיה לפחות 700 ק"ג).

לצורך כך נגדיר שמונה משתנים מקריים $\ X_{i}$, שמייצגים את המשקל של כל אחד מהאנשים שנכנסו למעלית. התוחלת שלהם מהם כבר ידועה לנו: לכל $i$ מתקיים $\ \mathbb {E} (X_{i})=70.5$.

כעת נגדיר משתנה מקרי חדש, $\ X=\sum _{i=1}^{8}X_{i}$, שמייצג את המשקל הכולל של האנשים שנכנסו למעלית. אנו רוצים לבדוק באיזו הסתברות משתנה זה גדול או שווה ל-700. כדי להשתמש באי שוויון מרקוב עלינו לדעת את התוחלת שלו, ואותה קל לחשב באמצעות לינאריות התוחלת:

• $\ \mathbb {E} (X)=\mathbb {E} (\sum _{i=1}^{8}X_{i})=\sum _{i=1}^{8}\mathbb {E} (X_{i})=\sum _{i=1}^{8}(70.5)=8\cdot 70.5=564$

מזה, על פי אי שוויון מרקוב, נובע:

$\ \mathbb {P} (X\geq 700)\leq {\frac {564}{700}}={\frac {141}{175}}=0.80571$

חסם זה אינו טוב במיוחד - בהמשך נראה אי שוויונים שמספקים חסם טוב יותר.

הוכחה למקרה ההסתברותי

יהי $X$ משתנה מקרי רציף (ההוכחה אנלוגית עבור המקרה הדיסקרטי), אזי:

$\mathbb {E} [|X|]=\int _{-\infty }^{\infty }|x|f_{x}(x)dx\geq$

$\int _{-\infty }^{-a}|x|f_{x}(x)dx+\int _{a}^{\infty }|x|f_{x}(x)dx\geq$

$\int _{-\infty }^{-a}af_{x}(x)dx+\int _{a}^{\infty }af_{x}(x)dx=$

$a\left[\int _{-\infty }^{a}f_{x}(x)dx+\int _{a}^{\infty }f_{x}(x)dx\right]=a\mathbb {P} (|X|\geq a)$

ראו גם

• הסתברות/תוחלת ומומנטים/פונקציה יוצרת מומנטים

הפרק הקודם: שונות

אי שוויון מרקוב

הפרק הבא: אי שוויון צ'בישב