מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
ולא : מרכז השטח או מרכז הנפח, כי הממוצע משוקלל לפי "צפיפות" ה"מסה").
התוחלת מגדירה את הממוצע במקרה שהיינו חוזרים על הניסוי אינסוף פעמים. לדוגמא בהטלת קוביה פעם אחת הממוצע יהיה אחת מהאפשרויות {1,2,3,4,5,6} אבל התוחלת היא 3.5 שזה יהיה הממוצע בהטלת אינסוף קוביות.
[ עריכה ]
הגדרה: תוחלת מ"מ בדיד
אם X מ"מ המקבל ערכים xn בהסתברות pn , אז התוחלת שווה ל-
E
X
=
∑
n
=
1
∞
p
n
x
n
{\displaystyle \ \mathbb {E} X=\sum \limits _{n=1}^{\infty }p_{n}x_{n}}
כלומר התוחלת היא ממוצע הערכים שמקבל המ"מ, כאשר הוא משוקלל לפי ההסתברות של כל תוצאה אפשרית.
מ"מ גאומטרי:
X
∼
G
e
o
m
(
p
)
{\displaystyle \ X\sim Geom(p)}
E
X
=
∑
n
=
1
∞
p
q
n
−
1
n
=
p
∑
n
=
1
∞
n
q
n
−
1
=
p
(
∑
n
=
0
∞
q
n
)
′
=
p
(
1
1
−
q
)
′
=
p
1
(
1
−
q
)
2
=
1
p
{\displaystyle \ \mathbb {E} X=\sum \limits _{n=1}^{\infty }pq^{n-1}n=p\sum \limits _{n=1}^{\infty }nq^{n-1}=p\left(\sum \limits _{n=0}^{\infty }q^{n}\right)'=p\left({1 \over 1-q}\right)'=p{1 \over (1-q)^{2}}={1 \over p}}
מ"מ בינומי:
Y
∼
B
i
n
(
n
,
p
)
{\displaystyle \ Y\sim Bin(n,p)}
E
Y
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
p
k
q
n
−
k
k
=
p
(
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
p
k
q
n
−
k
)
′
=
p
(
(
p
+
q
)
n
)
′
=
n
p
(
p
+
q
)
n
−
1
=
n
p
{\displaystyle \ \mathbb {E} Y=\sum \limits _{k=0}^{n}{n \choose k}p^{k}q^{n-k}k=p\left(\sum \limits _{k=0}^{n}{n \choose k}p^{k}q^{n-k}\right)'=p((p+q)^{n})'=np(p+q)^{n-1}=np}
מ"מ פואסוני:
Z
∼
P
o
i
s
(
λ
)
{\displaystyle \ Z\sim Pois(\lambda )}
E
Z
=
∑
n
=
0
∞
e
−
λ
λ
n
n
!
n
=
e
−
λ
λ
∑
n
=
1
∞
λ
n
−
1
(
n
−
1
)
!
=
e
−
λ
λ
e
λ
=
λ
{\displaystyle \ \mathbb {E} Z=\sum \limits _{n=0}^{\infty }e^{-\lambda }{\lambda ^{n} \over n!}n=e^{-\lambda }\lambda \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\lambda ^{n-1} \over (n-1)!}=e^{-\lambda }\lambda e^{\lambda }=\lambda }
[ עריכה ]
הגדרה: תוחלת מ"מ רציף
אם למ"מ רציף X יש צפיפות fX , אז התוחלת שלו היא
E
X
=
∫
−
∞
∞
x
f
X
(
x
)
d
x
{\displaystyle \ \mathbb {E} X=\int \limits _{-\infty }^{\infty }xf_{X}(x)dx}
∫
−
∞
∞
|
x
|
f
X
(
x
)
d
x
<
∞
{\displaystyle \ \int \limits _{-\infty }^{\infty }|x|f_{X}(x)dx<\infty }
מ"מ אחיד:
X
∼
U
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ X\sim U[a,b]}
E
X
=
∫
a
b
x
1
b
−
a
d
x
=
a
+
b
2
{\displaystyle \ \mathbb {E} X=\int \limits _{a}^{b}x{1 \over b-a}dx={a+b \over 2}}
מ"מ מעריכי:
Y
∼
E
x
p
(
λ
)
{\displaystyle \ Y\sim Exp(\lambda )}
E
Y
=
∫
0
∞
x
λ
e
−
λ
x
d
x
=
1
λ
{\displaystyle \ \mathbb {E} Y=\int \limits _{0}^{\infty }x\lambda e^{-\lambda x}dx={1 \over \lambda }}
מ"מ גאוסי תקני:
Z
∼
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle \ Z\sim N(0,1)}
E
Z
=
∫
−
∞
∞
x
2
π
e
−
x
2
2
d
x
=
0
{\displaystyle \ \mathbb {E} Z=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{x \over {\sqrt {2\pi }}}e^{-{x^{2} \over 2}}dx=0}
מ"מ W בעל פונקית צפיפות סימטרית סביב a:
E
W
=
a
{\displaystyle \ \mathbb {E} W=a}
[ עריכה ]
משפט: תוחלת של מ"מ מעורב
אם Y הוא משתנה בדיד ו-Z הוא משתנה רציף אז התוחלת של המ"מ המעורב X היא:
E
X
=
p
E
Y
+
(
1
−
p
)
E
Z
{\displaystyle \ \mathbb {E} X=p\mathbb {E} Y+(1-p)\mathbb {E} Z}
F
X
(
x
)
=
p
F
Y
(
x
)
+
(
1
−
p
)
F
Z
(
x
)
{\displaystyle \ F_{X}(x)=pF_{Y}(x)+(1-p)F_{Z}(x)}
(להשלים)
[ עריכה ]
משפט: תוחלת של מ"מ מורכב
יהי X מ"מ בעל צפיפות fX ותהי
Y
=
h
(
X
)
{\displaystyle \ Y=h(X)}
E
h
(
X
)
=
∫
−
∞
∞
h
(
X
)
f
X
(
x
)
d
x
{\displaystyle \ \mathbb {E} h(X)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(X)f_{X}(x)dx}
(להשלים)
(להשלים)
אם X מ"מ בדיד אשר מקבל את הערך x0 בהסתברות 1, אז
E
X
=
x
0
{\displaystyle \ \mathbb {E} X=x_{0}}
לינאריות התוחלת: עבור קבוע a ופונקציות h,g מתקיים
E
(
a
X
)
=
a
E
X
{\displaystyle \ \mathbb {E} (aX)=a\mathbb {E} X}
E
(
X
+
a
)
=
E
X
+
E
a
=
E
X
+
a
{\displaystyle \ \mathbb {E} (X+a)=\mathbb {E} X+\mathbb {E} a=\mathbb {E} X+a}
E
[
g
(
X
)
+
h
(
X
)
]
=
E
g
(
X
)
+
E
h
(
X
)
{\displaystyle \ \mathbb {E} [g(X)+h(X)]=\mathbb {E} g(X)+\mathbb {E} h(X)}
X
≤
Y
⇒
E
X
≤
E
Y
{\displaystyle \ X\leq Y\ \Rightarrow \ \mathbb {E} X\leq \mathbb {E} Y}
חישוב תוחלת ישירות מפונקצית ההתפלגות, ללא שימוש בפונקצית הצפיפות:
E
X
=
∫
0
∞
[
1
−
F
X
(
x
)
]
d
x
−
∫
−
∞
0
F
X
(
x
)
d
x
{\displaystyle \ \mathbb {E} X=\int \limits _{0}^{\infty }[1-F_{X}(x)]dx-\int \limits _{-\infty }^{0}F_{X}(x)dx}
E
X
=
∫
0
∞
[
1
−
F
X
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle \ \mathbb {E} X=\int \limits _{0}^{\infty }[1-F_{X}(x)]dx}
נוסחה זו שימושית במיוחד עבור התפלגויות מעורבות, בכך שהיא חוסכת את פירוק פונקצית הצפיפות לפונקציה בדידה ולפונקציה רציפה. יהי X מ"מ בעל פונקצית צפיפות fX ופונקצית התפלגות FX , אז
E
F
X
(
x
)
=
1
2
{\displaystyle \ \mathbb {E} F_{X}(x)={1 \over 2}}
תוחלת מותנית:
E
(
X
|
X
=
x
0
)
=
x
0
{\displaystyle \ \mathbb {E} (X|X=x_{0})=x_{0}}
E
[
g
(
X
)
h
(
Y
)
|
X
=
x
0
]
=
g
(
x
0
)
E
[
h
(
Y
)
|
X
=
x
0
]
{\displaystyle \ \mathbb {E} [g(X)h(Y)|X=x_{0}]=g(x_{0})\mathbb {E} [h(Y)|X=x_{0}]}
![{\displaystyle \ X\sim U[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab58aa98393041157b564cce0e529fe3713a4413)
![{\displaystyle \ \mathbb {E} [g(X)+h(X)]=\mathbb {E} g(X)+\mathbb {E} h(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa4e4419491ae9fbdd7319da99b86f892a2b54ff)
![{\displaystyle \ \mathbb {E} X=\int \limits _{0}^{\infty }[1-F_{X}(x)]dx-\int \limits _{-\infty }^{0}F_{X}(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1825765a43b1de98e0ce8de9e6098aa1093fc63a)
![{\displaystyle \ \mathbb {E} X=\int \limits _{0}^{\infty }[1-F_{X}(x)]dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7edf1c7d82c782d7d59ba315aa3c2a1d39b6b8)
![{\displaystyle \ \mathbb {E} [g(X)h(Y)|X=x_{0}]=g(x_{0})\mathbb {E} [h(Y)|X=x_{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58fcbc54d4cdedb826d6f8c568d126b9de5c095d)
