חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים: הבדלים בין גרסאות בדף

קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
מ
אין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
{{הוכחה|לכל <math>\varepsilon > 0</math> קיים <math>k = 0</math> שעבורו מתקיים -
<center>
<math>\bigg|a_n - L\bigg| = \bigg|L - L\bigg| = 0 < \varepsilon</math>
</center>
ולכן <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math>}}}}
על-פי אי-שוויון המשולש השני -
<center>
<math>\bigg||a_n| - |L|\bigg| \le \bigg|a_n - L\bigg|</math>
</center>
נתון כי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> לכן לכל <math>\varepsilon > 0</math> קיים <math>k</math> כך שלכל <math>n > k</math> מתקיים - <math>|a_n - L| < \varepsilon</math>. אזי לכל <math>\varepsilon > 0</math> נבחר את אותו ה- <math>k</math>, ואז -
<center>
<math>\bigg||a_n| - |L|\bigg| \le \bigg|a_n - L\bigg| < \varepsilon</math>
</center>
ולכן <math>\lim_{n \to \infty}|a_n| = |L|</math>}}}}
נראה כי הגבול שלה הוא <math>-1</math>. לכל <math>\varepsilon > 0</math> נבחר <math>k = \frac{1}{\varepsilon}</math> ואז יתקיים -
<center>
<math>\bigg|a_n - L\bigg| = \biggleft|\frac{-n}{n+1} + 1\biggright| = \biggleft|\frac{-n + n + 1}{n+1}\biggright| = \biggleft|\frac{1}{n+1}\biggright| = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} < \varepsilon</math>
</center>
לכן <math>\lim_{n \to \infty}a_n = -1</math>. כעת אם נרצה לדעת מה הגבול של הסדרה <math>b_n = |a_n|</math> כלומר <math>b_n = \frac{n}{n+1}</math> כל מה שצריך הוא להשתמש במשפט כדי לדעת כי <math>\lim_{n \to \infty}b_n = 1</math>.
 
{{משפט|תוכן=סדרה מתכנסת מתכנסת לגבול יחיד.
 
{{הוכחה|
נתון כי <math>.\lim_{n \to \infty}a_n = L</math>, צריך להוכיח כי אם מתקיים גם <math>\lim_{n \to \infty}a_n = M </math> אזי <math>.L = M</math>
 
 
נניח בשלילה כי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = M</math> כך ש- <math>,L \ne M</math> ונניח בלי הגבלת כלליות כי <math>.M > L</math>.
 
נתון גם כי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = ML</math> ולכן לכל <math>,\varepsilon > 0</math> , ובפרט עבור <math>\varepsilon = \frac{M-L}{2}</math> מתקיים כי כל אברי הסדרה, - פרט למספר סופי שלשלהם אברים- נמצאים בסביבהבסביבת <math>\varepsilon</math> של <math>M</math>, כלומר מקיימים <math>a_n > M - \frac{M-L}{2} = \frac{M+L}{2}</math>{{ש}}
 
כלומר מקיימים <math>.a_n < L + \frac{M-L}{2} = \frac{M+L}{2}</math>
 
נתון גם כי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = LM</math> ולכן לכל <math>,\varepsilon > 0</math> , ובפרט עבור <math>\varepsilon = \frac{M-L}{2}</math> מתקיים כי כל אברי הסדרה, - פרט למספר סופי שלשלהם אברים,- נמצאים בסביבהבסביבת <math>\varepsilon</math> של <math>L</math>, כלומר אינסוף מאברי הסדרה מקיימים <math>a_n < L + \frac{M-L}{2} = \frac{M+L}{2}</math>{{ש}}
 
כלומר מקיימים <math>.a_n > M - \frac{M-L}{2} = \frac{M+L}{2}</math>
 
נניחוזאת בשלילהבסתירה כילכך <math>\lim_{nשאינסוף \toמאברי \infty}a_nהסדרה = Mמקיימים </math>, כך ש.a_n <math>L \ne frac{M+L}{2}</math>. ונניחלכן בליההנחה הגבלתשגויה, הכלליות כיו- <math>.M >= L</math>{{ש}}
נתון כי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> ולכן לכל <math>\varepsilon > 0</math> , ובפרט עבור <math>\varepsilon = \frac{M-L}{2}</math> מתקיים כי כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של אברים, נמצאים בסביבה <math>\varepsilon</math> של <math>L</math>, כלומר אינסוף מאברי הסדרה מקיימים <math>a_n < L + \frac{M-L}{2} = \frac{M+L}{2}</math>{{ש}}
נתון גם כי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = M</math> ולכן לכל <math>\varepsilon > 0</math> , ובפרט עבור <math>\varepsilon = \frac{M-L}{2}</math> מתקיים כי כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של אברים נמצאים בסביבה <math>\varepsilon</math> של <math>M</math>, כלומר מקיימים <math>a_n > M - \frac{M-L}{2} = \frac{M+L}{2}</math>{{ש}}
וזאת בסתירה לכך שאינסוף מאברי הסדרה מקיימים <math>a_n < \frac{M+L}{2}</math>. לכן ההנחה שגויה, ו- <math>M = L</math>
}}}}
 

תפריט ניווט