מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
משפט: אריתמטיקה של גבולות
יהיו שתי סדרות מתכנסות אזי -
- לכל מספר ממשי
מתקיים - ![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }c\cdot a_{n}=c\cdot A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2955ab4ce16a93380e5a3aeaa6e22ef40523a905)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=A+B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3788d8a16218a001d484210e2c27158e73c7eb7)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}-b_{n})=A-B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca2e2e9a76680cb6dd0ced4d7c5ce0195320f619)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=A\cdot B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae00beb6e7890e10bfd757f71a95b522e66fe8dd)
- אם
אזי ![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {A}{B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b141ba5f5daaf237f2b963a396d62ac2c8e7568)
הוכחה:
מהגדרת הגבול
- אם
אז הטענה נכונה באופן טריוויאלי. אחרת נבחר , אז ![{\displaystyle \exists k\forall n>k|a_{n}-A|<\varepsilon _{0}\Rightarrow c|a_{n}-A|<\varepsilon \Rightarrow |c(a_{n}-A)|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/564bbced50fe317242b2a5e17d091d0949e5edfd)
- יהי
. נבחר כעת אז על פי הגדרת הגבול , כלומר , כלומר ![{\displaystyle -\varepsilon <a_{g}-A+b_{g}-B<\varepsilon \Rightarrow |a_{g}+b_{g}-A-B|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99509b51d94f358249d1b2cda648643d9d1c3851)
|
משפט:
אם ומתקיים לכל טבעי אזי
הוכחה:
|
משפט:
יהיו שתי סדרות מתכנסות אם לכל טבעי אזי
הוכחה:
|
משפט: כלל הסנדוויץ
יהיו שלוש סדרות, אם לכל טבעי, ומתקיים אזי גם
הוכחה:
|
-
|
אריתמטיקה של גבולות וכלל הסנדוויץ |
- |