חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/אריתמטיקה של גבולות וכלל הסנדוויץ

חשבון אינפיניטסימלי

משפט: אריתמטיקה של גבולות יהיו $a_{n},b_{n}$ שתי סדרות מתכנסות $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A,\lim _{n\to \infty }b_{n}=B$ אזי - לכל מספר ממשי $c\in R$ מתקיים - $\lim _{n\to \infty }c\cdot a_{n}=c\cdot A$ $\lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=A+B$ $\lim _{n\to \infty }(a_{n}-b_{n})=A-B$ $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=A\cdot B$ אם $b_{n}\neq 0,B\neq 0$ אזי $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {A}{B}}$ הוכחה: פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה. מהגדרת הגבול $\forall \varepsilon >0,\exists k_{A},k_{B}:\forall n>k_{A}|a_{n}-A|<\varepsilon \land \forall m>k_{B}|b_{n}-B|<\varepsilon$ אם $c=0$ אז הטענה נכונה באופן טריוויאלי. אחרת נבחר $\varepsilon _{0}={\frac {\varepsilon }{c}}$, אז $\exists k\forall n>k|a_{n}-A|<\varepsilon _{0}\Rightarrow c|a_{n}-A|<\varepsilon \Rightarrow |c(a_{n}-A)|<\varepsilon$ יהי $\varepsilon >0$. נבחר כעת $f=\max(n,m)$ אז על פי הגדרת הגבול $\forall g>f|a_{g}-A|<{\frac {\varepsilon }{2}}\land |b_{g}-B|<{\frac {\varepsilon }{2}}$, כלומר $-{\frac {\varepsilon }{2}}<a_{g}-A<{\frac {\varepsilon }{2}}\land -{\frac {\varepsilon }{2}}<b_{g}-B<{\frac {\varepsilon }{2}}$, כלומר $-\varepsilon <a_{g}-A+b_{g}-B<\varepsilon \Rightarrow |a_{g}+b_{g}-A-B|<\varepsilon$ פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה. פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה. פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

כלל הסנדוויץ

משפט: אם $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ ומתקיים $a_{n}\geq 0$ לכל $n$ טבעי אזי $L\geq 0$ הוכחה:

משפט: יהיו $a_{n},b_{n}$ שתי סדרות מתכנסות $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A,\lim _{n\to \infty }b_{n}=B$ אם $a_{n}\geq b_{n}$ לכל $n$ טבעי אזי $A\geq B$ הוכחה:

משפט: כלל הסנדוויץ יהיו $a_{n},b_{n},c_{n}$ שלוש סדרות, אם $a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$ לכל $\ n$ טבעי, ומתקיים $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L,\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$ אזי גם $\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$ הוכחה:

-

אריתמטיקה של גבולות וכלל הסנדוויץ

-