חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרציה/האינטגרל הלא-מסוים

האינטגרל הלא-מסוים של פונקציה $f(x)$ הוא הפונקציה הקדומה שלה, כלומר הפונקציה $F(x)$ המקיימת $F'(x)=f(x)$ לכל x. מסמנים זאת $F(x)=\int f(x)dx$.

האינטגרל נקרא לא-מסוים כי הוא לא נותן פונקציה יחידה, אלא אינסוף פונקציות, מכיון שלכל פונקציה קדומה $F(x)$ קיימת פונקציה $G(x)=F(x)+c$ המקיימת $G'(x)=F'(x)$, כלומר גם היא פונקציה קדומה של $f(x)$. לכן נצטרך להוסיף לסימן האינטגרל את הקבוע c הנקרא קבוע האינטגרציה ומסמל מספר כלשהו: $\int f(x)dx=F(x)+c$.

חישוב האינטגרל

חישוב האינטגרל נעשה באמצעות נגזרות של פונקציות ידועות (מה שנקרא אינטגרל מיידי), וכללי האינטגרציה. נדגיש כי לא לכל פונקציה קיימת פונקציה קדומה.

אינטגרלים מיידיים

• $\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c$
• $\int {\frac {1}{\sqrt {x}}}dx=2{\sqrt {x}}+c$
• $\int {\frac {1}{x^{2}}}dx=-{\frac {1}{x}}+c$
• $\int e^{x}dx=e^{x}+c$
• $\int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+c$
• $\int {\frac {1}{x}}dx=\ln x+c$
• $\int {\frac {1}{\ln a\cdot x}}dx=\log _{a}x+c$
• $\int \sin xdx=-\cos x+c$
• $\int \cos xdx=\sin x+c$
• $\int {\frac {1}{\cos ^{2}x}}dx=\tan x+c$
• $\int \tan x\cdot \sec xdx=\sec x+c$
• $\int -\cot x\cdot \csc xdx=\csc x+c$
• $\int -{\frac {1}{\sin ^{2}x}}dx=\cot x+c$
• $\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx=\sin ^{-1}x+c$
• $\int -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx=\cos ^{-1}x+c$
• $\int {\frac {1}{1+x^{2}}}dx=\tan ^{-1}x+c$
• $\int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}dx=\sec ^{-1}x+c$
• $\int -{\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}dx=\csc ^{-1}x+c$
• $\int -{\frac {1}{1+x^{2}}}dx=\cot ^{-1}x+c$

חוקי האינטגרציה

(הפונקציה $F$ היא הפונקציה הקדומה של הפונקציה $f$)

• $\int k\cdot f(x)dx=k\cdot \int f(x)dx$
• $\int {\Big (}f(x)\pm g(x){\Big )}dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$
• $\int f(mx+b)dx={\frac {F(mx+b)}{m}}$
• $\int {\Big (}f(g(x))\cdot g'(x){\Big )}dx=F(g(x))$