חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים

חשבון אינפיניטסימלי

לאחר שהכרנו את מושג הגבול ואת הגדרת הגבול נעבור למספר משפטים שיציגו תכונות שונות של גבולות ושל סדרות מתכנסות -

משפט: אם קיים $L\in \mathbb {R}$ כך שלכל $n$ טבעי מתקיים $a_{n}=L$ אזי $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ הוכחה: לכל $\varepsilon >0$ קיים $k=0$ שעבורו מתקיים - ${\bigg |}a_{n}-L{\bigg |}={\bigg |}L-L{\bigg |}=0<\varepsilon$ ולכן $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$

למעשה כבר ראינו דוגמא למשפט הזה בעמוד הקודם, עבור הסדרה שבה $a_{n}=0$, המשפט תקף גם לכל מספר אחר, למשל -

$a_{n}=\{42,42,42,42\dots \}$

מתקיים - $\lim _{n\to \infty }a_{n}=42$

משפט: אם $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ אזי $\lim _{n\to \infty }|a_{n}|=|L|$ הוכחה: על-פי אי-שוויון המשולש השני - ${\bigg |}|a_{n}|-|L|{\bigg |}\leq {\bigg |}a_{n}-L{\bigg |}$ נתון כי $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ לכן לכל $\varepsilon >0$ קיים $k$ כך שלכל $n>k$ מתקיים - $|a_{n}-L|<\varepsilon$. אזי לכל $\varepsilon >0$ נבחר את אותו ה- $k$, ואז - ${\bigg |}|a_{n}|-|L|{\bigg |}\leq {\bigg |}a_{n}-L{\bigg |}<\varepsilon$ ולכן $\lim _{n\to \infty }|a_{n}|=|L|$

אם נסתכל למשל על הסדרה - $a_{n}={\frac {-n}{n+1}}$ -

$a_{n}={\bigg \{}{\frac {-1}{2}},{\frac {-2}{3}},{\frac {-3}{4}}\dots {\bigg \}}$

נראה כי הגבול שלה הוא $-1$. לכל $\varepsilon >0$ נבחר $k={\frac {1}{\varepsilon }}$ ואז יתקיים -

${\bigg |}a_{n}-L{\bigg |}=\left|{\frac {-n}{n+1}}+1\right|=\left|{\frac {-n+n+1}{n+1}}\right|=\left|{\frac {1}{n+1}}\right|={\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{n}}<\varepsilon$

לכן $\lim _{n\to \infty }a_{n}=-1$. כעת אם נרצה לדעת מה הגבול של הסדרה $b_{n}=|a_{n}|$ כלומר $b_{n}={\frac {n}{n+1}}$ כל מה שצריך הוא להשתמש במשפט כדי לדעת כי $\lim _{n\to \infty }b_{n}=1$.

משפט: סדרה מתכנסת מתכנסת לגבול יחיד. הוכחה: נתון כי $.\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ צריך להוכיח כי אם מתקיים גם $\lim _{n\to \infty }a_{n}=M$ אזי $.L=M$ נניח בשלילה כי $\lim _{n\to \infty }a_{n}=M$ כך ש- $,L\neq M$ ונניח בלי הגבלת כלליות כי $.M>L$. נתון כי $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ ולכן לכל $,\varepsilon >0$ ובפרט עבור $\varepsilon ={\frac {M-L}{2}}$ מתקיים כי כל אברי הסדרה - פרט למספר סופי שלהם - נמצאים בסביבת $\varepsilon$ של $,L$ כלומר מקיימים $.a_{n}<L+{\frac {M-L}{2}}={\frac {M+L}{2}}$ נתון גם כי $\lim _{n\to \infty }a_{n}=M$ ולכן לכל $,\varepsilon >0$ ובפרט עבור $\varepsilon ={\frac {M-L}{2}}$ מתקיים כי כל אברי הסדרה - פרט למספר סופי שלהם - נמצאים בסביבת $\varepsilon$ של $,M$ כלומר מקיימים $.a_{n}>M-{\frac {M-L}{2}}={\frac {M+L}{2}}$ וזאת בסתירה לכך שאינסוף מאברי הסדרה מקיימים $.a_{n}<{\frac {M+L}{2}}$ לכן ההנחה שגויה, ו- $.M=L$

הוכחה זו עלולה להראות מעט סתומה בתחילה, ולכן נתעמק במשפט ובהוכחה. המשפט טוען כי אם ידוע לנו כי סדרה מסוימת שואפת לגבול מסוים - לא יתכן כי אותה הסדרה תשאף גם לגבול אחר. כלומר אם אנחנו יודעים כי סדרה שואפת לאפס למשל, לא יתכן שהיא שואפת גם ל-42. הוכחת המשפט הזה, כמו הוכחות רבות אחרות, מתבססת על הנחה בשלילה - אנו מתחילים את ההוכחה בהנחה כי משהו הוא נכון - מבצעים פעולות מתמטיות שאנחנו יודעים כי הן נכונות, ומגיעים לסתירה. כיון שכל מה שעשינו בדרך פרט להנחה המקורית היה נכון - סימן שההנחה שגויה, הנקודה הבעייתית היא לנסח את ההנחה כך שעל-ידי ההוכחה כי ההנחה שגויה יתברר כי המשפט נכון.

דבר נוסף שעשינו בתחילת ההוכחה היה להגיד "נניח בלי הגבלת הכלליות". משמעות הניסוח הזה היא שעומדים לפנינו שני מצבים שונים, שהדרך להוכיח אותם היא זהה לחלוטין, למעט הסימנים פלוס ($+$) או מינוס ($-$), וקטן מ ($<$) או גדול מ ($>$). בדרך כלל משפט זה יופיע בהוכחות שבהן אנחנו יודעים כי שני מספרים שונים זה מזה אך לא יודעים מי גדול יותר (ואין זה משנה את התוצאה - אלא רק את הדרך להראות אותה) או במקרים בהם צריך לטפל בנפרד במספרים חיוביים ושליליים.

ההוכחה עצמה התבססה על ההגדרה הראשונה של הגבול, ואם ננסח אותה בלשון מעט פחות מתמטית - אם הסדרה מתכנסת לגבול מסויים, ואנחנו רוצים להוכיח כי היא אינה מתכנסת למספר אחר נבחר סביבה בגודל מחצית ההפרש ביניהם. הבחירה הזו יוצרת הפרדה בין הסביבה של הגבול הידוע לסביבה של המספר החדש - וכיוון שאנחנו יודעים איפה נמצאים אינסוף מאברי הסדרה (בסביבת הגבול הידוע) לא ייתכן כי הם נמצאים בסביבת המספר החדש - ולכן הוא אינו גבול של הסדרה.

עכשיו תורכם: בהוכחת המשפט הנחנו בלי הגבלת הכלליות כי $M>L$ כלומר ניתן היה לבצע את אותה ההוכחה עם שינויי סימן וכיוון גם עבור $M<L$. נסח את ההוכחה המדויקת עבור המקרה הזה.

משפט: יהיו $a_{n},b_{n}$ שתי סדרות. אם $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ וקיימים שני מספרים שלמים $k_{1},p$ כך שלכל $n>k_{1}$ מתקיים $b_{n}=a_{n+p}$ אזי גם $\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$ הוכחה: נתון כי $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$, כלומר לכל $\varepsilon >0$ קיים $k_{2}$ כך שלכל $n>k_{2}$ מתקיים $|a_{n}-L|<\varepsilon$. לכל $\varepsilon >0$ נבחר $k=\max\{k_{1},k_{2}\}$, ואז לכל $n>k$ יתקיים - $|b_{n}-L|=|a_{n+p}-L|<\varepsilon$ ולכן $\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$

גם המשפט הזה עלול להראות לא ברור, אך הוא משפט חשוב ביותר - ולמעשה גם פשוט ביותר. המשפט הזה בעצם אומר שאם סדרה מסוימת מתכנסת לגבול מסוים, וסדרה אחרת זהה לסדרה הראשונה החל ממקום מסוים - גם הסדרה השנייה מתכנסת לאותו גבול. או לחילופין - אם לוקחים סדרה מתכנסת, מוסיפים לה מספר סופי של איברים, מחסירים ממנה מספר סופי של איברים, ומשנים בה מספר סופי של איברים - זה לא ישפיע על הגבול שלה. הסיבה שהמשפט הזה נכון היא פשוטה - בהתכנסות של סדרה אנחנו לא מסתכלים על האיברים הראשונים בסדרה, למעשה אנחנו לא מסתכלים על אף איבר בסדרה שניתן להצמיד לו מספר - אנחנו מסתכלים מה קורה לאברי הסדרה כשאנחנו מתקדמים לעבר האינסוף, ולכן שינוי שנעשה גם באיבר המיליון, המיליארד או הגוגול הוא זניח, ולא משפיע על הגבול. עם זאת יש לשים לב שמספר האיברים שאנו משנים בסדרה חייב להיות סופי, אפשר להסיר את 17 האיברים הראשונים, להחליף את האיבר ה-42 ב-33 ולהוסיף במקום המיליון ואחד את המספר $\pi$ - והגבול של הסדרה לא ישתנה, אבל אם למשל נוסיף את המספר 2 אחרי כל איבר עשירי - הרי ששינינו אינסוף איברים, והמשפט כבר לא יכול לעזור לנו לחשב את הגבול של הסדרה החדשה.

לדוגמא, נתונה הסדרה הבאה -
$\{a_{n}\}=17,42,\pi ,103,-55.3,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}}\dots$
זו היא למעשה הסדרה $b_{n}={\frac {1}{n}}$ שהוספנו לה 5 איברים בתחילתה. אבל כיון שמהאיבר השישי והלאה הסדרות זהות גם הגבולות שלהן זהים, וכיון שכבר ראינו ש- $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$ אז לפי המשפט מתקיים גם $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$.

משפט: אם סדרה $\{a_{n}\}$ מתכנסת אזי היא חסומה הוכחה: נתון כי הסדרה $\{a_{n}\}$ מתכנסת. יהא $L$ הגבול של הסדרה ויהא $0<\varepsilon =1$, כיון שהסדרה מתכנסת קיים $k$ כך שלכל $n>k$ מתקיים - ${|a_{n}-L|<\varepsilon \ \ \implies \ \ -\varepsilon <a_{n}-L<\varepsilon \ \ \implies \ \ L-\varepsilon <a_{n}<L+\varepsilon \ \ \implies \ \ L-1<a_{n}<L+1}$ נסתכל על קבוצות האיברים בסדרה המקיימים $n\leq k$ כיון ש- $k$ הוא מספר נתון מדובר בקבוצה סופית, נסמן את המספר הגדול ביותר בקבוצה זו ב-$M$ ואת האיבר הקטן ביותר ב- $m$. כל אברי הסדרה המקיימים $n\leq k$ מקיימים $a_{n}\leq M$ ויתר אברי הסדרה מקיימים $a_{n}<L+1$ ולכן הסדרה חסומה מלעיל על-ידי $\max\{M,L+1\}$. כל אברי הסדרה המקיימים $n\leq k$ מקיימים $a_{n}\geq m$ ויתר אברי הסדרה מקיימים $a_{n}>L-1$ ולכן הסדרה חסומה מלרע על-ידי $\min\{m,L-1\}$. הראינו כי הסדרה חסומה מלעיל ומלרע ולכן הסדרה חסומה.

הטענה שבמשפט הזה היא כל סדרה מתכנסת היא חסומה, כלומר יש לה חסם עליון וחסם תחתון (ניתן להזכר בהגדרה של סדרה חסומה), בשלב זה הן המשפט והן ההוכחה אמורים להיות אינטואיטיביים למדי מבחינתך, ובכל זאת מומלץ לעבור על ההוכחה בעיון ולוודא שאכן הכל מובן. הרעיון המרכזי של ההוכחה הזו היא הגדרת $\varepsilon$ שרירותי (במקרה הזה בחרנו ב-1, אך כל מספר אחר גדול מאפס היה טוב באותה מידה) וחלוקת הסדרה לשני חלקים - חלק ראשון מכיל את כל האיברים החל מהערך ה-$k$, כלומר האיבר שהחל ממנו כל אברי הסדרה נמצאים בסביבה $\varepsilon$ של הגבול והחלק השני הוא כל האיברים שלפני האיבר הזה. ברור שהחלק הראשון חסום, שכן כל האיברים שבו נמצאים בטווח של לא יותר מ-$\varepsilon$ מהגבול, באשר לחלק השני - כיון שמדובר במספר סופי של איברים, אנחנו יכולים פשוט לבחור את האיברים הגדול ביותר והקטן ביותר מביניהם, ולומר שכל שאר האיברים חסומים ביניהם. כדי לחסום את כל הסדרה פשוט ניקח כמקסימום את $L+\varepsilon$ או האיבר הגדול ביותר מבין החלק השני - הגדול מביניהם וכמינימום את $L-\varepsilon$ או האיבר הקטן ביותר מבין החלק השני - הקטן מביניהם, כל אברי הסדרה חסומים בין שני מספרים אלו.

כעת אם נתבונן על סדרה שאלף איברים הראשונים הם ערכים אקראיים, והחל מהאיבר האלף ואחד כל האיברים הם 2, ונרצה לדעת האם הסדרה חסומה נוכל לומר על פי המשפט הקודם כי היא מתכנסת לאותו גבול כמו הסדרה $a_{n}=2$ ועל פי המשפט הראשון בעמוד הזה כי הסדרה $\{a_{n}\}$ מתכנסת ל-2. לכן כיון שמדובר בסדרה מתכנסת היא בהכרח חסומה, בלי לתות בערכים של אלף הערכים הראשונים.

שימו לב: המשפט לא עובד בכיוון ההפוך, כלומר סדרה חסומה לא בהכרח מתכנסת, למשל הסדרה - $a_{n}=(-1)^{n}$ חסומה מלעיל על-ידי $1$ וחסומה מלרע על-ידי $-1$ אבל איננה מתכנסת לגבול. (ראינו הוכחה דומה עבור הסדרה $1,0,1,0,1,0,\dots$).

משפט: אם סדרה $\{a_{n}\}$ היא מונוטונית וחסומה אזי הסדרה מתכנסת הוכחה: נניח בלי הגבלת הכלליות כי $\{a_{n}\}$ סדרה מונוטונית עולה. נסמן את הסופרמום של הסדרה ב-$L$, ונוכיח כי הסדרה מתכנסת אליו. מהגדרת הסופרמום נובע כי $\forall \varepsilon >0,\exists k:L-\varepsilon <a_{k}$. בנוסף מכיון שהסדרה מונוטונית עולה מתקיים $\forall k\forall n>k:a_{k}\leq a_{n}$. נזכור גם כי $L$ הוא הסופרמום ולכן $\forall n:a_{n}\leq L$. משילוב התוצאות נקבל $\forall \varepsilon >0,\exists k\forall n>k:L-\varepsilon <a_{k}\leq a_{n}\leq L<L+\varepsilon$ ובסך הכל $\forall \varepsilon >0,\exists k,\forall n>k:L-\varepsilon <a_{n}<L+\varepsilon$ כנדרש.

משפט: אם הסדרה $\{a_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ חסומה והסדרה $\{b_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ מתכנסת לאפס אזי $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=0$. הוכחה: נניח כי $M>0$ הוא חסם של $\{a_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ (כלומר $\forall n:|a_{n}|<M$). יהי $\varepsilon >0$. עבור ${\frac {\varepsilon }{M}}>0$ מתקיים כי קיים $k$ שלכל $n>k$ מתקיים $|b_{n}|<{\frac {\varepsilon }{M}}$. מכאן נובע $M\cdot |b_{n}|<\varepsilon$, אך מכאן נסיק $|a_{n}||b_{n}|<M\cdot |b_{n}|<\varepsilon$, ולבסוף $|a_{n}\cdot b_{n}|<\varepsilon$ כנדרש.

-

משפטים בסיסיים

-