חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/הגדרת הנגזרת

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שיפוע של פונקציה לא לינארית[עריכה]

עבור פונקציות לינאריות, הנוסחה המוכרת לחישוב השיפוע היא כנלמד: .
אולם, אנו מעוניינים למצוא את שיפוען של פונקציות כלליות, לאו דווקא לינארית. לא נוכל להשתמש בנוסחה הקודמת, משום ששיפוען של פונקציות אלה אינו קבוע - הנוסחה הקודמת תלויה בנקודות שבחרנו, אך אם נבחר נקודות שונות לא נקבל תמיד את אותה התוצאה.

הגדרת הנגזרת[עריכה]

נכליל את הגדרת השיפוע עבור פונקציה כללית. תהי f פונקציה כלשהי, ו- הפרש שיעורי ה-X של שתי נקודות עליה.

השיפוע שבין שתי נקודות אלו ניתן לחישוב על פי הנוסחה הקודמת:

ככל ש- קטן, הישר העובר דרך שתי הנקודות מתקרב למשיק בנקודה, ולכן המשיק הוא הגבול.
נסכם ונגדיר את הנגזרת בנקודה כשיפוע שבין שתי נקודות על פונקציה ההולכות וקרבות אחת לשנייה.

אם נסמן , נקבל:

דוגמא[עריכה]

גזור (לפי הגדרת הנגזרת) את הפונקציה :