חשבון אינפיניטסימלי/טורים

חשבון אינפיניטסימלי

בפרקים הקודמים דנו בסדרות ובגבולות שלהם. כעת, היינו רוצים לדבר על מושג חשוב לא פחות, על טור של סדרה ועל גבולו.

מהו טור?

כולנו מכירים מהבי"ס היסודי את הפעולה האריתמטית של חיבור שני מספרים. באופן טבעי, הכללנו את הפעולה הזו לחיבור של מספר סופי מסוים של מספרים ממשיים ובשלב זה של חיינו, כולנו מסוגלים לבצע חישובים מורכבים כמו 1+3+7+1 או 1+2-5+12.67+7 (שימו לב שחיסור הוא בעצם חיבור של מספר שלילי). אבל מה אם יש בידינו מספר אינסופי של מחוברים וברצוננו לדעת מה סכומם? במקרה זה עלינו לפנות לכלים שלמדנו מתורת הגבולות של סדרות כדי לתת משמעות לביטוי "סכום אינסופי".

הגדרת טור של סדרה

בהינתן סדרה $\{a_{n}\}_{n}^{\infty }$ נגדיר את הסדרה $\{S_{n}\}_{n}^{\infty }$ על-ידי

$S_{1}=a_{1}$

$S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1}$

או בצורת כתיבה אחרת:

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}$

כלומר, הסדרה $\{S_{n}\}_{n}^{\infty }$ "צוברת" את אברי הסדרה $\{a_{n}\}_{n}^{\infty }$.

הגדרה 1: סדרת הסכומים החלקיים בהינתן סדרה $\{a_{n}\}_{n}^{\infty }$ הסדרה $\{S_{n}\}_{n}^{\infty }$ המתאימה לה לפי ההגדרה לעיל נקראת סדרת הסכומים החלקיים של $\{a_{n}\}_{n}^{\infty }$

הגדרה 2: טור של סדרה הטור של הסדרה $\{a_{n}\}_{n}^{\infty }$ היא סדרת הסכומים החלקיים כפי שהוגדרה לעיל והוא יסומן ב- $\sum a_{n}$

את הטור המתאים לסדרה $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ נהוג לסמן ב- $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ .

יש לציין גם שאין שום ייחוד דווקא במספר 1, וייתכן שיהיו טורים שהאינדקס הראשון שלהם הוא כל מספר טבעי אחר, כך לדוגמא, גם הטור: $\sum _{n=119}^{\infty }a_{n}$ הוא טור כשר לכל הדעות.

לאחר דיוננו בהגדרת הטור ובסימונו, נביא את ההגדרה המרכזית של פרק זה:

הגדרה 2: גבול של טור הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ יקרא מתכנס אם"ם הסדרה $\{S_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ כפי שהוגדרה לעיל, היא סדרה המתכנסת למספר ממשי, גבולה יקרא "הגבול של הטור" או "ערכו של הטור" ויסומן ב- $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ . וכן, אם הסדרה מתבדרת, נאמר שהטור מתבדר. באופן אנאלוגי לסדרות, טור יקרא מתכנס במובן הרחב לפלוס או מינוס אינסוף אם"ם $\{S_{n}\}_{n}^{\infty }$ מתכנסת במובן הרחב לפלוס או מינוס אינסוף, בהתאמה.

שימו לב: הסימון $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ משמש גם לסימון הסדרה $\{S_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ וגם לסימון הגבול של הטור, אין להתבלבל בין השניים ויש לקחת בחשבון שהרישום של הסדרה בצורה הנ"ל לא מבטיח בהכרח את קיומו של גבול הטור.

דוגמאות

דוגמה 1: נסתכל על הטור הבא $\sum _{n=1}^{\infty }n$ נרצה לדעת האם טור זה הוא טור מתכנס, נסתכל על סדרת הסכומים החלקיים: $S_{n}=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$ ידוע לנו מהפרקים הקודמים שהסדרה $\{S_{n}\}_{n}^{\infty }$ היא סדרה מתבדרת ולכן גם הטור מתבדר

עכשיו, אחרי שאנחנו יודעים מהו גבול של טור, ניתן ללמוד על אופי סדרה הנדסית יורדת (הערך המוחלט שלה בכל אופן). כאשר מדברים על סדרה הנדסית יורדת מדובר על סדרה הנדסית שבה מנת הסדרה נמצאת בטווח שבין מינוס אחד לאחד (לא כולל), כלומר: $-1<q<1$. מספר דוגמאות:

$27,9,3,1,\ldots$ שבה האיבר הראשון הוא $27$ והמנה היא ${\frac {1}{3}}$ .

$1,-0.5,0.25,-0.125,\ldots$ שבה האיבר הראשון הוא $1$ והמנה היא $-0.5$ .

ניתן לראות בקלות כי אברי הסדרה שואפים ל-0 ככל ש- $n$ גדל. דבר זה גורם לכך שלסכום הסדרה ההנדסית נוצר גבול כלשהו אותו לא יוכל לעבור, מספר אשר אליו הסכום ישאף ויתקרב. ניתן לראות בקלות כי $n$ גדול יותר, אך עם זאת, לא יגיע אליו לעולם, אלא באיבר האינסוף (שהוא בעצם 0). בכדי לקבל נוסחא לסכום סדרה הנדסית שכזו, פשוט "נציב" אינסוף במקום $n$ בנוסחא שקיבלנו קודם. קל לראות, שכאשר $|q|<1$ , $q^{n}$ ילך ויקטן עד אינסוף, עד שבאבר האינסוף הוא בעצם יגיע ל-0. אם כן, פשוט מאוד ניתן למחוק את התבנית הזו מהנוסחא שקיבלנו:

$S={\frac {-a_{1}}{q-1}}$ , נפשט על-ידי הוצאת המינוס והחלפת המיקום במכנה, ונקבל את סכומה של הסדרה ההנדסית שבה ערכה המוחלט של מנת הסדרה הוא שבר האינסופית:

• $S={\frac {a_{1}}{1-q}}$ .