חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/גבול אינסופי

חשבון אינפיניטסימלי

עד עתה עסקנו אך ורק בסדרות המתכנסות לגבול סופי, אך כפי שכבר ראינו בתחילת הפרק קיימות סדרות שאינן מתכנסות למספר מסויים - אלא הולכות וגדלות יותר ויותר. גם לסדרות כאלו נרצה להגדיר גבול, ובמקרה שהסדרה אכן הולכת וגדלה (כמו הסדרה $a_{n}=n$), ולא "מתנדנדת" למשל בין שני ערכים (כמו $a_{n}=(-1)^{n}$ נגיד שהיא מתכנסת לאינסוף. אך כיון שאנחנו עוסקים בתחום מתמטי דרושה לנו הגדרה חד-משמעית שתבטיח שזה אכן המצב, ונוכל לבדוק על פיה גם סדרות מורכבות יותר, במקרה כזה הגדרה באמצעות $L$ ו- $\varepsilon$ לא תהיה יעילה, כי האינסוף הוא מושג - ולא מספר. ולכן הגדרת הגבול האינסופי היא שונה במעט -

הגדרה: תהי $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה של מספרים ממשיים, אם לכל $M\in \mathbb {R}$ קיים $k$ כל שלכל $n>k$ מתקיים $a_{n}>M$ אזי נאמר שהסדרה $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת לאינסוף, ונסמן $\lim _{n\to \infty }\{a_{n}\}=\infty$ תהי $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה של מספרים ממשיים, אם לכל $M\in \mathbb {R}$ קיים $k$ כל שלכל $n>k$ מתקיים $a_{n}<M$ אזי נאמר שהסדרה $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת למינוס אינסוף, ונסמן $\lim _{n\to \infty }\{a_{n}\}=-\infty$ אם סדרה מתכנסת לגבול סופי, לאינסוף או למינוס אינסוף נאמר שהסדרה מתכנסת במובן הרחב

משפט: אריתמטיקה של גבולות אינסופיים

משפט: משפט הסנדוויץ לאינסוף

משפט: אם סדרה $\{a_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ מונוטונית אזי היא מתכנסת במובן הרחב הוכחה: נניח ש$\{a_{n}\}$ מונוטונית עולה. אם היא חסומה, אז לפי משפט קודם היא מתכנסת במובן הצר ולכן גם במובן הרחב. אם היא אינה חסומה (מלעיל), אזי לכל $M\in \mathbb {R}$ קיים $n_{0}$ כך ש $M<a_{n_{0}}$. מהמונוטוניות של $\{a_{n}\}$ נובע ש $\forall n>n_{0}:M<a_{n_{0}}\leq a_{n}$ כנדרש. כאשר הסדרה מונוטונית יורדת ההוכחה דומה.

-

גבול אינסופי

-