חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/גבול אינסופי

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חשבון אינפיניטסימלי










עד עתה עסקנו אך ורק בסדרות המתכנסות לגבול סופי, אך כפי שכבר ראינו בתחילת הפרק קיימות סדרות שאינן מתכנסות למספר מסויים - אלא הולכות וגדלות יותר ויותר. גם לסדרות כאלו נרצה להגדיר גבול, ובמקרה שהסדרה אכן הולכת וגדלה (כמו הסדרה ), ולא "מתנדנדת" למשל בין שני ערכים (כמו נגיד שהיא מתכנסת לאינסוף. אך כיון שאנחנו עוסקים בתחום מתמטי דרושה לנו הגדרה חד-משמעית שתבטיח שזה אכן המצב, ונוכל לבדוק על פיה גם סדרות מורכבות יותר, במקרה כזה הגדרה באמצעות ו- לא תהיה יעילה, כי האינסוף הוא מושג - ולא מספר. ולכן הגדרת הגבול האינסופי היא שונה במעט -

הגדרה:

תהי סדרה של מספרים ממשיים, אם לכל קיים כל שלכל מתקיים אזי נאמר שהסדרה מתכנסת לאינסוף, ונסמן

תהי סדרה של מספרים ממשיים, אם לכל קיים כל שלכל מתקיים אזי נאמר שהסדרה מתכנסת למינוס אינסוף, ונסמן

אם סדרה מתכנסת לגבול סופי, לאינסוף או למינוס אינסוף נאמר שהסדרה מתכנסת במובן הרחב



משפט: אריתמטיקה של גבולות אינסופיים



משפט: משפט הסנדוויץ לאינסוף



משפט:

אם סדרה מונוטונית אזי היא מתכנסת במובן הרחב


הוכחה: נניח ש מונוטונית עולה.

אם היא חסומה, אז לפי משפט קודם היא מתכנסת במובן הצר ולכן גם במובן הרחב.

אם היא אינה חסומה (מלעיל), אזי לכל קיים כך ש .

מהמונוטוניות של נובע ש כנדרש.

כאשר הסדרה מונוטונית יורדת ההוכחה דומה.


מש"ל.PNG



- גבול אינסופי -