לדלג לתוכן

חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרציה/מבוא

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי


הקדמה

[עריכה]

אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה של גזירה. במילים אחרות, מציאת הפונקציה באמצעות הנגזרת שלה. כשמתעסקים עם אינטגרלים הרעיון הוא לחשוב על נגזרות, אבל ב"רוורס".[1]

לנגזרת יכולות להיות מספר פונקציות מתאימות, בניגוד לפונקציה לה יש נגזרת אחת. למשל, הפונקציות עבורה הנגזרת יכולות להיות: , , וכן הלאה. לכן, בתום האינטגרציה נוסיף את הסימן C, קבוע האינטגרציה, נעלם המייצג את כלל הפונקציות המתאימות לנגזרת זו.

פונקציה קדומה () - היא הפונקציה הראשונית, אותה קיבלו לאחר האינטגרציה. דהיינו, זוהי הפונקציה הראשונה אותה גזרו וקיבלו נגזרת מסוימת, פונקציה חדשה . פונקציה נקראת פונקציה קדומה של בקטע כלשהו, אם לכל נקודה בקטע . כלומר היא הנגזרת של בקטע.

אינטגרל לא-מסוים - כל הפונקציות הקדומות עבור נגזרת (שיפוע) מסוימת. סימונם .

הנגזרת היא שיפוע מכאן שהיא מבטאת את: ובמילים אחרות: (דלתא = מרחק). כאשר (הנגזרת של פונקציה קדומה) שווה (לפונקציה חדשה) נוכל לרשום . באמצעות אינטגרציה ל- (לא חשוב איך) נקבל . על-ידי ביצוע לשני האגפים (שוב, לא חשוב איך) נקבל . לכן נוכל לומר כאשר

ראו גם

[עריכה]

דף נוסחאות המכיל את כל הכללים באינטגרלים לבגרות, מתוך סיכומונה.

הערות שולים

[עריכה]
  1. ^ ניתן לחשוב על אינטגרלים גם כעל הכללה של סכום: אם יש לנו מספר בן-מניה של אברים אנו יכולים לסכום אותם לפי הסדר, אבל אם המספר אינו בן-מניה - איך נדע איזה מהם עלינו לסכום קודם? לשם כך בא לעזרתינו האינטגרל - הוא "סוכם בבת אחת".