חשבון אינפיניטסימלי/סדרות

חשבון אינפיניטסימלי

בפרק זה נעסוק בסדרות של מספרים ממשיים בלבד. ניתן לראות סדרה של מספרים ממשיים כקבוצה סדורה של מספרים כך שכל מספר מאופיין על-ידי ערכו והמקום בסדרה שבו הוא נמצא. לפני שניתן את ההגדרה המדויקת נציג מספר דוגמאות לסדרות:

1. $1,4,7,1,3$ - זוהי סדרה בת חמישה אברים. האבר הראשון בה הוא $1$ , השני $4$ וכן הלאה. נשים לב כי האבר הרביעי גם הוא $1$ , כלומר אין מניעה שאותו מספר יופיע כמה פעמים בתוך סדרה.
2. $1,3,5,7,9,11$ - זוהי סדרה חשבונית בת ששה אברים. השם "סדרה חשבונית" בא לציין את העובדה כי היא בעלת התכונה שההפרש בין כל מספר לקודמו זהה.
3. $5,25,125$ - זוהי סדרה הנדסית בת שלושה אברים. השם "סדרה הנדסית" בא לציין את העובדה כי היא בעלת התכונה שהמנה של כל מספר המחולק בקודמו זהה.
4. $1,1,2,3,5,8,\dots$ - זוהי סדרה הנקראת סדרת פיבונאצ'י והיא בעלת התכונה שכל אבר בה החל מהמקום השלישי הוא סכום שני האברים שקדמו לו. שלוש הנקודות שבסוף כתיבת הסדרה מציינות שבסדרה אינסוף אברים.
5. $1,1,1,1,1,\dots$ - זוהי סדרה אינסופית קבועה שכל אבריה שווים ל- $1$ .

תיאור פורמלי

ניתן לחשוב על סדרה כעל סידור של מספרים בשורה כך שבין כל שני מספרים בסדרה מפריד מספר סופי של מספרים. נציג את ההגדרה הפורמלית:

הגדרה 1

סדרה היא פונקציה מהמספרים הטבעיים (או קבוצה חלקית שלהם) אל המספרים הממשיים. היא מתאימה לכל מספר טבעי שמייצג מקום בסדרה את המספר הממשי שנמצא באותו מקום.

• למשל, את הסדרה מדוגמא 1 ניתן להציג בתור הפונקציה $f:\{1,2,3,4,5\}\to \mathbb {R}$ המקיימת $f(1)=1\ ,\ f(2)=4\ ,\ f(3)=7\ ,\ f(4)=1\ ,\ f(5)=3$ .

• את הסדרה מדוגמא 5 ניתן להציג בתור הפונקציה $f:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$ המקיימת $f(n)=1$ לכל $n\in \mathbb {N}$ .

ישנן מספר דרכים שונות לתאר סדרה:

1. הדרך הבסיסית לתאר סדרה היא באמצעות כתיבת אבריה, בדומה למה שעשינו בדוגמאות למעלה. כאשר בסדרה מספר רב של אברים לרוב כותבים רק חלק מהם, כך שניתן להבין מהאברים המוצגים את צורתם של שאר האברים. בדוגמא 5 חוזרים על המספר $1$ מספר רב של פעמים מבלי שיופיע אף מספר אחר, כך שניתן להניח כי הכוונה היא שכל אברי הסדרה הם $1$ . בדוגמא 4 ניתן לראות שכל אבר הוא סכום של שני הקודמים לו ולכן ניתן להבין כי גם המשך הסדרה יענה לכלל זה. לשיטה זו מספר חסרונות ברורים:
   1. לא ברור כלל שכל הקוראים יהיו מסוגלים להבין את הכלל המנחה של הסדרה מהאברים שמוצגים.
   2. גם כאשר ניתן להסיק את הכלל המנחה, אין לנו שום דרך מיידית לדעת את ערכו של מספר הנמצא במקום שרירותי בסדרה.
2. דרך נוספת לתאר סדרה של מספרים היא באמצעות נוסחה כללית, המתארת את הערך של האבר במקום $n$ כפונקציה של $n$ . למשל, לסדרה שבדוגמא 2 מתאימה הנוסחה הבאה: $a_{n}=1+2\cdot n$ , כאשר $a_{n}$ פירושו "האבר במקום ה- $n$" . לא תמיד הנוסחאות פשוטות כל כך: עבור הסדרה שבדוגמא 4 הנוסחה היא $a_{n}={\frac {{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}^{n}-{\bigl (}1-{\sqrt {5}}{\bigr )}^{n}}{2^{n}{\sqrt {5}}}}$ וההגעה לנוסחא זו אינה מיידית. ההוכחה לנוסחה הנ"ל נמצאת פה. ישנן גם סדרות שאין להן כלל נוסחא לאבר הכללי.
3. ניתן לתאר סדרה גם באמצעות כלל נסיגה המציג כל אבר כפונקציה של חלק מהאברים הקודמים. כל כלל נסיגה צריך גם לכלול תנאי התחלה, שהם ערכים מפורשים שניתנים לאברים הראשונים בסדרה. למשל, עבור הסדרה שבדוגמא 4 קיימים תנאי ההתחלה $a_{1}=1,a_{2}=1$ וכלל הנסיגה $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$ לכל $n\geq 3$ .

כאשר רוצים לתאר סדרה באופן כללי מבלי ליחס ערך ספציפי לאבריה, נהוג לכתוב אותה כך:

$\{a_{n}\}_{n=1}^{N}$

משמעות הסימון הזה היא שהסדרה היא הקבוצה של האברים $a_{1},\dots ,a_{n}$ המסמנים את אברי הסדרה.

כאשר אנו רוצים לתאר כך סדרה אינסופית נהוג לכתוב:

$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$

סדרות חשבוניות והנדסיות

נחזור כאן על שני סוגים בסיסיים של סדרות, שייתכן וכבר מוכרות לכם מבית הספר: סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות.

סדרה חשבונית

סדרה חשבונית היא סדרה שההפרש בין כל שני אברים סמוכים בה קבוע, כלומר זוהי סדרה $\{a_{n}\}_{n=1}^{N}$ כך ש- $a_{n}-a_{n-1}=d$ לכל $n>1$ , כאשר $d$ הוא מספר קבוע המכונה הפרש הסדרה.

סדרה חשבונית נקבעת לחלוטין על-פי האבר הראשון שלה $a_{1}$ וערכו של $d$ . פירוש הדבר הוא שאם אנחנו יודעים את האבר הראשון ואת הפרש הסדרה, אנחנו יודעים מה יהיה ערכו של כל אחד מאברי הסדרה. נראה זאת:

אם $a_{1}$ הוא האבר הראשון אז מכיון ש- $a_{2}-a_{1}=d$ מתקיים $a_{2}=a_{1}+d$ . בצורה דומה $a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+2d$ . באופן כללי מתקיים $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ . כתרגיל נסו להוכיח זאת באינדוקציה.

לעתים קרובות מתעניינים בסכום $n$ האברים הראשונים בסדרה, אותו מסמנים $S_{n}$ . נראה כיצד מוצאים את הנוסחה לערכו של סכום זה:

אנו רוצים למצוא את $S_{n}=a_{1}+\dots +a_{n}$. על-פי הנוסחה לאבר הכללי נקבל:

${S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\dots +(a_{1}+(n-1)d)=n\cdot a_{1}+d(1+2+\dots +(n-1))}$ .

נותר לנו לחשב את ערך הסכום $1+2+\dots +n-1$ . ניתן להוכיח באינדוקציה כי סכום זה הוא ${\frac {(n-1)n}{2}}$ . נציג את הרעיון שמאחורי הפתרון.

אנקדוטה מספרת על כך שהמתמטיקאי המפורסם קרל פרידריך גאוס גילה את הפתרון לבעיה זו בגיל 7, כאשר המורה בבית הספר שלו נתן לתלמידים לסכום את כל המספרים מ-1 עד 100 במטרה להעסיק אותם שעה ארוכה, וגאוס פתר את התרגיל כמעט מיד. גאוס הבחין כי הסכום של האבר הראשון והאחרון הוא 101, הסכום של האבר השני והלפני אחרון גם כן 101 וכן הלאה - ובסך הכל קיימים 50 זוגות שכאלו, ולכן הסכום הכולל הוא $50\cdot 101=5050$ . באופן כללי כאשר יש לנו $n-1$ מספרים ישנם ${\frac {n-1}{2}}$ זוגות (במקרה שבו מספר האברים אי-זוגי יהיה לנו "חצי-זוג" אחד) שערך כל אחד מהם הוא $n$ (סכום האבר הראשון והאחרון).

אם נציב את ערך הסכום שמצאנו במשוואה שהגענו אליה, נקבל את הנוסחה הכללית:

• $S_{n}=n\cdot a_{1}+{\frac {d(n-1)n}{2}}=n\left(a_{1}+{\frac {d(n-1)}{2}}\right)$

שיטתו של גאוס עובדת גם במקרה זה, ולכן דרך אחרת להצגת הנוסחה היא באמצעות האבר הראשון והאחרון:

• $S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$

נסו להוכיח כי שתי הנוסחאות זהות.

סדרה הנדסית

סדרה הנדסית היא סדרה שהמנה של כל שני אברים סמוכים בה זהה. כלומר זוהי סדרה $\{a_{n}\}_{n=1}^{N}$ כך ש- ${\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}=q$ לכל $n>1$ , כאשר $q$ הוא מספר קבוע המכונה מנת הסדרה.

בדומה לסדרה חשבונית, גם סדרה הנדסית נקבעת לחלוטין על-ידי האבר הראשון ועל-ידי מנת הסדרה. ניתן להוכיח מיידית באינדוקציה כי $a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$ .

נראה כיצד ניתן למצוא את סכומה של סדרה הנדסית:

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}=a_{1}(1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1})$.

נותר לראות מהו ערך הסכום $q^{n-1}+\dots +q+1$ .

כאשר $q=1$ ברור כי ערך הסכום הוא $n$ . במקרה זה סכום הסדרה כולה הוא $n\cdot a_{1}$ . זוהי סדרה "טריוויאלית" במובן זה שכל האברים בה זהים.

אם $q\neq 1$ אז נשים לב לכך שמתקיים הדבר הבא:

$(q^{n-1}+\dots +q+1)(q-1)=q^{n}-1$ (נסו להוכיח זאת על-ידי פתיחת הסוגריים) ולכן $q^{n-1}+\cdots +q+1={\frac {q^{n}-1}{q-1}}$ .

קיבלנו את הסכום של סדרה הנדסית כללית:

• $S_{n}={\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}$