חשבון אינפיניטסימלי/פונקציות

חשבון אינפיניטסימלי

פונקציה

פונקציה היא יחס המקיים שעבור כל איבר בתחום ישנו איבר אחד ויחיד בטווח המותאם לו. באופן לא-פורמלי, אנחנו יכולים לחשוב על פונקציה כעל מכונה, כמו מכונה להכנת נקניקיות. מכונה להכנת נקניקיות, מקבלת בשר ונותנת נקניקיות; פונקציות, בדרך-כלל, מקבלות מספר מסוים ונותנות מספר אחר. המספרים נכנסים לתוך החלק הממוסגר (המוקף בסוגריים) של $f(x)$ . ה-x בסוגריים מסמל כל מספר שאתה רוצה להכניס לפונקציה, וכיון ש-x יכול לקבל כל ערך, הוא נקרא המשתנה הבלתי-תלוי. עכשיו נחליף את כל ה-x-ים בצד ימין של סימן השוויון בערך שהכנסנו, בשביל לקבל את הערך של המשתנה התלוי, התוצר. כדי להגדיר פונקציה אנחנו כותבים:

$f(x)=3x+2$

הכוונה היא ש- $f$ היא הפונקציה שבהנתן מספר מסוים, תחזיר את הסכום של שלוש פעמים המספר עם שתיים. על-פי הגדרתנו דלעיל, $f(2)$ תחזיר:

$f(2)=3\times 2+2=6+2=8$

נשים לב שב- $f(2)$ הכוונה היא לערכו של המשתנה התלוי כאשר הערך של x הוא 2. אז, אנו רואים שהמספר 8 הוא התוצר של הפונקציה כשאנו מכניסים את המספר 2. אנחנו קוראים לערך שאנו מכניסים הארגומנט של הפונקציה (או המשתנה הבלתי-תלוי), ולתוצר אנו קוראים הערך של הפונקציה (או המשתנה התלוי). אז אנו יכולים להגיד ש"הערך של $f(2)$ הוא 8", או "$f$ של 2 שווה ל-8".

למרות שאין חוקים נוקשים לשם שניתן לפונקציה, מנהג נפוץ הוא השימוש באותיות $f,g,h$ לסימון פונקציות, ובמשתנה x לסימון המשתנה הבלתי-תלוי.

תנאים לפונקציה

לפונקציה יש שני דברים עיקריים שעליה לקיים:

1. לכל פונקציה יש קבוצה מסוימת של ערכים שניתן להכניס אליה. אולי הקבוצה הזו היא קבוצת כל המספרים החיוביים הממשיים; אולי זו הקבוצה {המבורגר, כבד אווז, בירה}. הקבוצה הזו נקראת התחום של הפונקציה. כאשר אנו נותנים לפונקציה אלמנט כלשהו מהתחום, הפונקציה תחזיר לנו ערך. אנחנו לא יכולים לתת לפונקציה ערכים שלא נמצאים בתחום.
   

לדוגמא, אם הפונקציה הנתונה היא $f(x)={\frac {1}{x-2}}$ , התחום הוא כל המספרים הממשיים מלבד המספר 2, מכיון ש- $f(2)$ לא קיימת (חלוקה ב-0 אינה מוגדרת).

1. כל אלמנט מהתחום של הפונקציה יתן לנו ערך יחיד. לצורך העניין, נניח שברצוננו להגדיר פונקציה, $f(x)$ שתחזיר את השורש המרובע של הארגומנט שלה. עוד נניח שתחומה הוא "כל המספרים הממשיים החיוביים". דבר זה לא יהיה אפשרי, מכיוון שלא תהיה זו באמת פונקציה. זאת משום שעבור ארגומנט נתון x יש יותר מערך אחד אפשרי עבור $f(x)$ . לדוגמא, אם x היה 4, אז $f(x)$ היה יכול להיות 2 או 2-. ישנם שני שורשים ריבועיים ל-4.

זו דוגמא לביטוי אשר נכשל במבחן הקו הישר

מבחן הקו הישר

מבחן הקו הישר הוא מבחן שיטתי הנועד לענות על השאלה האם ביטוי מסוים יכול לשמש כפונקציה. פשוט, שרטט את הביטוי ומתח אנך לאורך כל נקודה בתחום היחס; אם האנך נוגע ביותר מנקודה אחת עבור כל ארגומנט, זו אינה פונקציה; אם הוא נוגע בערך אחד ויחיד אז זוהי פונקציה. עלינו לציין שמשמעות המילה פונקציה לפעמים מורחבת בכדי לכלול את המקרים של גרף עם יותר ממשתנה אחד. אלו הן פונקציות מרובות משתנים. בהקשר זה המבחן שתואר זה עתה יגלה אם פונקציה מסוימת היא חד-חד-ערכית או לא. ראה את הקטע על פונקציות חד-חד-ערכיות בהמשך.

סימון

השימוש בפונקציות הוא כל-כך נרחב עד שנוצרו סימונים מיוחדים להן; הסימונים הם מעט מעורפלים לעיתים, ולכן היכרות איתם חשובה על-מנת להבין את הכוונה של שוויון או נוסחה.
כאשר מתייחסים לפונקציה מסוימת $f$, אנו בדרך-כלל מעוניינים לדעת מהו המשתנה הבלתי-תלוי שלה x. לכן, כשאנו מתכוונים לפונקציה $f$ , בדרך-כלל לא נכתוב $f$ , אלא $f(x)$ . הפונקציה שאליה אנו מתייחסים עתה היא "$f$ של x". כך, המשתנה הבלתי-תלוי עכשיו מוסף למשתנה התלוי - רוצה לומר, הכוונה עתה היא שאנו מעוניינים לדעת מהם שני המשתנים. כתיב זה שימושי כאשר ברצוננו לדעת את ערכה של הפונקציה בהנתן משתנה מסוים. לדוגמא, אם הפונקציה היא:

$f(x)=3x+2$

ואם אנו רוצים לדעת את ערכה של $f$ עבור x השווה ל-2, אז אנו נחליף את x ב-2 בשתי האגפים של הפונקציה המוגדרת דלעיל, ונכתוב:

$f(2)=3\times 2+2=6+2=8$

הסימון דלעיל הרבה יותר אינפורמטיבי לעומת השמטת המשתנה הבלתי-תלוי וכתיבת '$f$', אך עדיין יכול להיות מעורפל מכיוון שהסוגריים יכולים להיות מפורשים ככפל. עקביות בסימון משפרת באופן ניכר את בהירותו של טקסט מתמטי.

דוגמאות

הנה כמה דוגמאות פשוטות (ולא כל-כך פשוטות):

$f(x)=x$ מחזירה את הערך שהיא מקבלת. פונקציה זו מכונה גם פונקצית הזהות.

$g(x)=3$ לוקחת את הערך, מתעלמת ממנו, ותמיד מחזירה את הערך 3.

$f(x)=x+1$ לוקחת את הערך ומוסיפה לו אחד.

$h(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if }}x>0\\-1&{\mbox{if }}x<0\end{matrix}}\right.$ נותנת 1 אם הערך שהוכנס אליה הוא חיובי, 1- אם הערך שהוכנס אליה שלילי. שים לב שהפונקציה מסכימה לקבל רק מספרים חיוביים או שליליים, לא $0$ . המתמטיקה מתארת את המצב הזה באמצעות ההצהרה שהמספר $0$ אינו נמצא בתחום של הפונקציה.

$g(y)=y^{2}$ לוקחת את הערך ומעלה אותו בריבוע.

$f(y)=\left\{{\begin{matrix}\displaystyle \int \limits _{-y}^{y}e^{x^{2}}dx&{\mbox{if }}y>0\\0&{\mbox{if }}y\leq 0\end{matrix}}\right.$ לוקחת את הערך ומשתמשת בו כגבול לאינטגראציה.

אפשרי הדבר להחליף את המשתנה הבלתי-תלוי בכל ביטוי מתמטי, לא רק מספרי. לדוגמא, אם המשתנה הבלתי-תלוי הוא בעצמו פונקציה אז הוא יכול להיות ערכה של זו הפונקציה. פעולה זאת נקראת הרכבה והיא מוסברת בהמשך.

מניפולציות על פונקציות

אפשר לפעול על פונקציות באופן דומה לכל משתנה אחר; אפשר לחבר אותן, להכפיל אותן, להעלות אותם בחזקה, וכד'. לצורך העניין, נניח כי

$f(x)=3x+2$

$g(x)=x^{2}$

אז

$f+g=(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(3x+2)+(x^{2})=x^{2}+3x+2$

$f-g=(f-g)(x)=f(x)-g(x)=(3x+2)-(x^{2})=-x^{2}+3x+2$

$f\times g=(f\times g)(x)=f(x)\times g(x)=(3x+2)\times (x^{2})=3x^{3}+2x^{2}$

${\frac {f}{g}}=\left({\frac {f}{g}}\right)(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {3x+2}{x^{2}}}={\frac {3}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}$

בכל אופן, ישנה דרך ספציפית אחת לשלב פונקציות שאינה קיימת בהקשר של משתנים שאינם פונקציות. ערכה של פונקציה $f$ תלוי בערכו של המשתנה $x$ ; אך, משתנה זה יכול להיות שווה לתוצר של פונקציה אחרת $g$ שפעלה בתורה על משתנה שלישי. אם זהו המקרה, אז התוצר של המשתנה השלישי על-ידי הפעולה המשולבת של $f$ ו- $g$ הוא פונקציה $h$ של המשתנה השלישי; פונקציה זו $(h)$ נקראת ההרכבה של שתי הפונקציות האחרות $(f,g)$ . ההרכבה מסומנת על-ידי

$f\circ g=(f\circ g)(x)=f(g(x))$

קרי: "ההרכבה של $f$ עם $g$".

לצורך העניין, נניח כי

$f(x)=3x+2$

$g(x)=x^{2}$

אז

$h(x)=f(g(x))=f(x^{2})=3(x^{2})+2=3x^{2}+2$

כאן, $h$ היא ההרכבה של $f$ ו- $g$ . נשים לב כי ההרכבה אינה חילופית (קומוטטיבית):

$f(g(x))=3x^{2}+2$

$g(f(x))=g(3x+2)=(3x+2)^{2}=9x^{2}+12x+4$

$f(g(x))\neq g(f(x))$

הרכבות של פונקציות מאוד נפוצות בשל השימושים הרבים שקיימים לפונקציות באופן כללי. לדוגמא: חיבור, כפל וכד', יכולים להיות מבוטאים כפונקציות של יותר ממשתנה אחד בלתי-תלוי:

${\mbox{plus}}(x,y)=x+y$

${\mbox{times}}(x,y)=x\times y$

כך, הביטוי $2\times 3+4$ הוא בעצם הרכבה של פונקציות:

$2\times 3+4={\mbox{times}}(2,3)+4={\mbox{plus}}({\mbox{times}}(2,3),4)$

ומכיון שהפונקציה times שווה ל-6 אם $y=3$ ו- $x=2$ אז

${\mbox{plus}}({\mbox{times}}(2,3),4)={\mbox{plus}}(6,4)$

ומכיון שהפונקציה plus שווה ל-10 אם $y=4$ ו- $x=6$ אז

$(2\times 3)+4={\mbox{plus}}({\mbox{times}}(2,3),4)={\mbox{plus}}(6,4)=10$.

תחום וטווח

לעתים קרובות התחום והטווח של פונקציה הם קבוצה של כל המספרים הממשיים הנמצאים שגדולים ממספר אחד וקטנים ממספר אחר. לקבוצה זו מספר כינויים: "מרווח", "קטע" או "אינטרוול" (Interval). בשל המרכזיות של מושג זה הוא זכה לסימונים מיוחדים, עבור כל סוגי המרווחים הקיימים.

סימון

הסימון בו משתמשים להגדרת המרווחים הוא מאוד פשוט, אך לעתים לא ברור בגלל הדמיון לסימון הזוג הסדור.

משמעות	סימון באמצעות אינטרוולים	סימון באמצעות קבוצות
כל הערכים הגדולים או שווים ל- $a$ והערכים הקטנים או שווים ל- $b$	$[a,b]$	$\{x:a\leq x\leq b\}$
כל הערכים הגדולים מ-$a$ וקטנים מ- $b$	$(a,b)$	$\{x:a<x<b\}$
כל הערכים הגדולים או שווים ל- $a$ וקטנים מ- $b$	$[a,b)$	$\{x:a\leq x<b\}$
כל הערכים הגדולים מ- $a$ וקטנים או שווים ל- $b$	$(a,b]$	$\{x:a<x\leq b\}$
כל הערכים הגדולים או שווים ל- $a$	$[a,\infty )$	$\{x:x\geq a\}$
כל הערכים הגדולים מ- $a$	$(a,\infty )$	$\{x:x>a\}$
כל הערכים הקטנים או השווים ל- $a$	$(-\infty ,a]$	$\{x:x\leq a\}$
כל הערכים הקטנים מ-$a$	$(-\infty ,a)$	$\{x:x<a\}$
כל הערכים.	$(-\infty ,\infty )$	$\{x:x\in \mathbb {R} \}$

נשים לב ש- $\infty$ חייב תמיד להיות לא כלול (הכוונה שאינו נמצא בצד של הסוגריים המרובעים אלא תמיד נסגר עם סוגריים עגולים). זאת מכיון ש- $\infty$ אינו מספר ממשי, ולכן אינו יכול להיות בתוך הקבוצה שלנו. באופן כללי בחשבון אינפיניטסימלי אנו משתמשים ב- $\infty$ בתור סמל שמקל עלינו את הכתיבה ובא לציין שמשהו אינו חסום (כלומר, יכול להיות גדול כרצוננו).

תחום

The domain of the function is the interval from -1 to 1

התחום של פונקציה הוא קבוצת כל הערכים עבורה הפונקציה מוגדרת. לדוגמא, אם:

$f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$

אז $f(x)$ מוגדרת רק עבור ה-x-ים הנמצאים בין 1 ל-1-, מכיון שפונקציית השורש הריבועי אינה מוגדרת (במספרים ממשיים) עבור ערכים שליליים. לכן, התחום, בסימון מרווחים, הוא $[-1,1]$ . במילים אחרות:

$f(x){\mbox{ is defined for }}x\in [-1,1],{\mbox{ or }}\{x:-1\leq x\leq 1\}$.

The range of the function is the interval from 0 to 1

טווח

הטווח של הפונקציה היא קבוצת הערכים שהפונקציה נותנת. לדוגמא, אם:

$f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$

אז $f(x)$ יכולה להיות שווה אך ורק לערכים הנמצאים באינטרוול מ- $0$ ל- $1$ . לכן, הטווח של $f$ הוא $[0,1]$ .

פונקציה חד-חד-ערכית

פונקציה, $f(x)$, היא חד-חד-ערכית (או פחות נפוץ, אינג'קטיבית) אם, לכל ערך של $f$ , יש רק ערך אחד של x המתאים לערך המסוים הזה של $f$ . לדוגמא, הפונקציה $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ היא לא חד-חד-ערכית, מכיון שעבור $x=1$ וגם עבור $x=-1$ התוצאה היא $f(x)=0$ . אך, הפונקציה $f(x)=x+2$ היא חד-חד-ערכית מכיון שעבור כל ערך אפשרי של $f(x)$ (או $y$), יש בדיוק ערך אפשרי אחד של $x$ (והוא $y-2$) שיגרום ל- $f(x)$ להיות y.

הפונקציה ההפכית

לפונקציה $f(x)$ יש פונקציה הפכית אם ורק אם $f(x)$ היא חד-חד-ערכית. עבור $f(x)$ ו- $g(x)$ כך ש- $g(x)$ היא ההפכית של $f(x)$ מתקיים:

$g(f(x))=f(g(x))=x$

לדוגמא, ההפכי של $f(x)=x+2$ היא $g(x)=x-2$ . לפונקציה $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ אין פונקציה הפכית.

סימון

הפונקציה ההפכית של $f(x)$ מסומנת כ- $f^{-1}(x)$ .

שרטוט פונקציות

לעתים קשה להבין את ההתנהגות של פונקציה הנתונה כהגדרה בלבד; ייצוג ויזואלי או גרף יכולים לסייע. גרף הוא קבוצה של נקודות במישור הקרטזי, כאשר כל נקודה $(x,y)$ מצהירה ש- $f(x)=y$ . במילים אחרות, גרף משתמש במיקומה של נקודה בכיוון אחד (הציר האנכי או ציר ה-y) בשביל לציין את הערך של $f$ עבור מיקום של הנקודה בכיוון אחר (הציר המאוזן או ציר ה-x).

אפשר לשרטט פונקציה על-ידי מציאת ערכה של $f$ עבור x-ים שונים ולשרטט את הערכים $(x,f(x))$ במישור הקרטזי. מכיוון שהפונקציות שאתן נתעסק הן בדרך-כלל רציפות (ראה למטה), החלק הריק של הפונקציה בין הנקודות המשורטטות יכול להיות מוערך בקירוב ע"י שרטוט קו או עקום בין הנקודות.

הרחבה של הפונקציה מעבר לנקודות ששרטטנו אפשרית, אך נעשית לא מהימנה ככל שהרחבה זו נמשכת (או פשוט שגויה אם התנהגותה של הפונקציה משתנה).

שרטוט נקודות באופן הזה זו עבודת פרך. למרבה המזל, גרפיהן של פונקציות מרובות 'נופלים' לתבנית כללית. הנה הצדקה פשוטה: נשקול פונקציה מהצורה

$f(x)={\frac {a}{b}}x$

בהנתן ש-b אינו 0, הגרף של $f$ הוא קו ישר, העובר דרך הנקודות $(0,0)$ , $\left({\frac {b}{a}},1\right)$ ו- $(b,a)$ . לכן, אחרי שרטוט שלושת הנקודות הללו, ניתן להשתמש בסרגל בכדי לשרטט את הקו ארוך ככל שנרצה.

רציפות

רוב הפונקציות בהן נתעניין בקורס הזה אינן גיבוב אקראי של נקודות על הדף, אלא פונקציות מסוג פשוט יחסית הנקראות "פונקציות רציפות". ניתן לאפיין פונקציות כאלו בצורה אינטואיטיבית על-ידי כך שבגרף שלהן אין מרווחים פתאומיים (חורים) וניתן לצייר אותן מבלי להרים את העפרון מהדף. גם פונקציות שמורכבות ממספר עקומות רציפות שכאלו יעניינו אותנו. מאוחר יותר בספר, מושג הרציפות יוגדר באופן פורמלי על-ידי שימוש במושג הגבול, שהוא המושג המרכזי בחשבון האינפיניטסימלי.

מניפולציות אלגבריות

מטרת הסקירה

בקטע זה נתמודד עם מניפולציות אלגבריות לאור הידע שברשותנו על פונקציות ועל הרכבות של פונקציות.

החוקים של האלגברה והאריתמטיקה

החוקים הבאים נכונים תמיד כאשר עוסקים במספרים ממשיים ובפונקציות המוגדרות עליהם:

• חיבור
  • חוק החילוף (הקומוטטיביות): $a+b=b+a$ .
  • חוק הקיבוץ (האסוציאטיביות): $((a+b)+c)=(a+(b+c))$ .
  • זהות החיבור: $a+0=a$ .
  • ההופכי ביחס לחיבור: $a+(-a)=0$ .
• חיסור
  • הגדרה: $a+(-a)=0$ .
• כפל
  • חוק החילוף (הקומוטטיביות): $a\times b=b\times a$ .
  • חוק הקיבוץ (האסוציאטיביות): $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$ .
  • זהות הכפל: $a\times 1=a$.
  • ההפכי ביחס לכפל: $a\times {\frac {1}{a}}=1\ ,\ a\neq 0$ .
  • חוק הפילוג (הדיסטריביוטיביות): $a\times (b+c)=a\times b+a\times c$ .
• חילוק
  • הגדרה: ${\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}\ ,\ b\neq 0$ .

החוקים דלעיל נכונים עבור כל $a,b,c$ , בין אם אלו מספרים, משתנים, פונקציות או ביטויים אחרים. לדוגמא, למרות ש-

${\frac {(x+2)(x+3)}{x+3}}=$
$=\left[[(x+2)\times (x+3)]\times \left({\frac {1}{x+3}}\right)\right]=$
$=((x+2)\times ((x+3)\times \left({\frac {1}{x+3}}\right)))=$
$=[(x+2)\times (1)]=$
$=x+2$

הוא תהליך הרבה יותר ארוך מאשר ביטול הביטוי x+3 במכנה ובמונה, זה חיוני להבין את השיטה הארוכה יותר. לעתים קרובות, אנשים עושים את הפעולות הבאות, לדוגמא, אשר אינן נכונות:

${\frac {2\times (x+2)}{2}}={\frac {2}{2}}\times {\frac {x+2}{2}}={\frac {x+2}{2}}$

התשובה הנכונה היא:

${\frac {2\times (x+2)}{2}}=x+2$

כאשר המספר 2 מתבטל במונה ובמכנה. מטעויות כאלה ניתן להמנע אם הולכים בדרך הארוכה.