חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/גבול חלקי

חשבון אינפיניטסימלי

משפט: הלמה של קנטור אם $\{a_{n}\}_{1}^{\infty },\{b_{n}\}_{1}^{\infty }$ הן שתי סדרות המקיימות $a_{n}\leq a_{n+1}<b_{n+1}\leq b_{n}$ לכל n, והמרחק ביניהן שואף לאפס, אז הן מתכנסות לגבול משותף. הוכחה: על פי הנתון מתקיים $\lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0$, כלומר $\lim _{n\to \infty }b_{n}-\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ ולכן $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$.

משפט: משפט בולצאנו ויירשטראס (‫‪Bolzano-Weierstrass‬‬) הוכחה:

משפט: לכל סדרה יש תת סדרה המתכנסת במובן הרחב הוכחה:

משפט: לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית הוכחה: על פי משפט ארדש סקרש, לכל סדרה באורך $ab+1$ יש תת סדרה מונוטונית עולה באורך $a+1$ או תת סדרה מונוטונית יורדת באורך $b+1$. כל אורך של סדרה נוכל לכתוב כמספר מהצורה $ab+1+c$ כאשר c הוא קבוע כלשהו. לפי זה נקבל סדרה מונוטונית באורך של לפחות $a+1$ (אם עולה) או $b+1$ (אם יורדת)

-

גבול חלקי

-