חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/גבול חלקי

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

חשבון אינפיניטסימלי












משפט: הלמה של קנטור

אם הן שתי סדרות המקיימות לכל n, והמרחק ביניהן שואף לאפס, אז הן מתכנסות לגבול משותף.

הוכחה: על פי הנתון מתקיים , כלומר ולכן .


מש"ל.PNG



משפט: משפט בולצאנו ויירשטראס (‫‪Bolzano-Weierstrass‬‬)

הוכחה:



מש"ל.PNG



משפט:

לכל סדרה יש תת סדרה המתכנסת במובן הרחב


הוכחה:



מש"ל.PNG



משפט:

לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית


הוכחה: על פי משפט ארדש סקרש, לכל סדרה באורך יש תת סדרה מונוטונית עולה באורך או תת סדרה מונוטונית יורדת באורך . כל אורך של סדרה נוכל לכתוב כמספר מהצורה כאשר c הוא קבוע כלשהו. לפי זה נקבל סדרה מונוטונית באורך של לפחות (אם עולה) או (אם יורדת)


מש"ל.PNG



- גבול חלקי -