חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/גבול של סדרה

קצת אינטואיציה לגבי גבול של סדרה

מושג הגבול הוא כנראה בין המושגים הכי חשובים ומרכזיים בחשבון האינפיניטסימלי, הוא מופיע כמעט בכל מקום, ויש לו חשיבות רבה, מושג הגבול והגדרתו לא פשוטים, אבל אני אנסה לפשט את זה ככל שניתן, על מנת שתוכלו להבין את הגדרת הגבול בצורה הטובה ביותר, ולהיות מאסטרים בחשבון אינפיניטסימלי. לפתיחה, נתחיל עם כמה דוגמאות:

• $0,1,2,3,4,5....$
• $5,5,5,5,5....$
• $0.9,0.99,0.999,0.9999,0.99999....$

בדוגמא הראשונה, ראינו סדרה אינסופית שמוגדרת בצורה $a_{n}=n$, כלומר האיבר הראשון הוא אחד, האיבר השני הוא שתיים, וכו'... אפשר לראות די בקלות שהסדרה לא "מתקדמת" לעבר מספר ממשי כל שהוא, ולכן אנחנו אומרים שאין לה גבול. בדוגמא השנייה, אנחנו רואים סדרה אינסופית המוגדרת בצורה $a_{n}=5$, היא סדרה קבועה, כלומר לא משנה באיזה אינדקס נבחר, האיבר שנקבל יהיה 5, אז כמובן שיש ערך שהסדרה "מתקדמת" לכיוונו, והוא 5, לכן במקרה שלנו הגבול של הסדרה יהיה המספר הממשי 5. בדוגמא השלישית, אנחנו רואים סדרה שמוגדרת בצורה $a_{n}=a_{n-1}+{\frac {9}{10^{n}}}$, כאשר $a_{0}=0$, כלומר כל פעם שנתקדם אינדקס אחד קדימה, נוסיף עוד 9 בנקודה עשרונית קדימה מהמספר שהאינדקס הקודם היה שווה אליו, ניתן לראות שהסדרה שלנו "מתקדמת" לכיוון המספר 1, ולכן נאמר שגבולה הוא 1.

אפשר להגיד בצורה מאוד לא פורמלית, שגבול של סדרה הוא הערך(אם קיים כזה) שהסדרה תתקרב אליו ככל שנתקדם עם האינדקסים לעבר אינסוף(גם אם שום איבר בסדרה יהיה שווה לערך הזה, אנחנו רק דורשים שהוא יתקרב אליו.), אבל זו רק אינטואיציה לא פורמלית, ולכן הגיע הזמן לעבור אל הגדרת הגבול.

הגדרת הגבול של סדרה

הגדרה 1: גבול של סדרה תהי $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$, ויהי $L$ מספר ממשי, נאמר כי הסדרה $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת ל$L$ אם ורק אם לכל $\epsilon >0$ קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $|a_{n}-L|<\epsilon$, או לחלופין, אם לכל $n>N$ מתקיים $L-\epsilon <a_{n}<L+\epsilon$, ובכתיב מתמטי, ההגדרה תראה כך: ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=L\iff \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} ,n>N\implies |a_{n}-L|<\epsilon$. הערה: לסדרה שלא מתכנסת נקרא סדרה מתבדרת, ולסדרה שגבולה הוא 0 נקרא סדרה אפסה.

אוקיי, אז כרגע אנחנו יודעים איך ההגדרה נראית, בואו נסביר אותה. עקרונית מה שההגדרה אומרת, זה שהסדרה $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ תתכנס למספר הממשי $L$, אם לכל מספר ממשי חיובי שנבחר, נוכל למצוא אינדקס, שהחל ממנו(לכל האינדקסים שגדולים ממנו) כל איברים הסדרה יהיו קרובים ל$L$ עד למרחק של המספר שבחרנו, כלומר נוכל "לקרב" את איברי הסדרה אל ערך הגבול, ככל שרק נרצה. כעת אתן כמה דוגמאות על הוכחת גבול של סדרה.

דוגמה 1: הוכחת גבול של סדרה נתונה הסדרה $a_{n}={\frac {1}{n}}$, הוכח שמתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=0$. הוכחה: יהי $\epsilon >0$, נבחר $N={\frac {1}{\epsilon }}$, ולכן מתקיים $|a_{n}-L|=|{\frac {1}{n}}-0|=|{\frac {1}{n}}|{\overset {(1)}{=}}{\frac {1}{n}}{\overset {(2)}{<}}{\frac {1}{N}}{\overset {(3)}{=}}\epsilon$ כעת נסביר: לפי הגדרת סדרה, מתקיים $n\in \mathbb {N}$, ולכן $n>0$. לפי ההנחה ש$n>N$, נוכל לכפול את הביטוי בהופכי ולקבל ${\frac {1}{n}}<{\frac {1}{N}}$ לפי בחירת $N$, מתקיים $N={\frac {1}{\epsilon }}\implies {\frac {1}{N}}=\epsilon$

ובכך הוכחנו את הגבול של הסדרה, כעת נעבור למשפטים מרכזיים בתורת הגבולות, ובפרט גבולות של סדרות. נראה את המשפטים ולאחר מכן את ההוכחות שלהם, כאשר אנחנו נעזרים בהגדרת הגבול כמובן.

משפטי גבולות

משפט 1: משפטי גבולות יחידות הגבול, אם מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=L$, וגם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=M$, אז בהכרח $M=L$ אם $a_{n}$ סדרה מתכנסת, אז היא חסומה. אפסה כפול חסומה, אם $|b_{n}|<M$ וגם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=0$, אזי ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}b_{n}=0$ גבול של הזזה, אם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=L$ ו$b_{n}=a_{n+s}$ אזי גם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=L$ כללי סדר, אם $a_{n},b_{n}$ זוג סדרות מתכנסות, ומתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}<{\underset {n\to \infty }{\lim }}$, אזי $a_{n}<b_{n}$ כמעט לכל $n$. כללי סדר, אם $a_{n},b_{n}$ זוג סדרות מתכנסות, ומתקיים $a_{n}\leq b_{n}$ לכל $n$, אזי ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}\leq {\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}$. משפט הסנדוויץ', אם מתקיים כמעט לכל $n$ האי שוויון $a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$, ומתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}={\underset {n\to \infty }{\lim }}c_{n}$, אז ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}={\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}={\underset {n\to \infty }{\lim }}c_{n}$. הוכחה: נניח שמתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=L$ וגם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=M$ אבל $L\not =M$. לפי הגדרת הגבול, אם נבחר ${\frac {\epsilon }{2}}$ קיים $z_{1}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>z_{1}$ מתקיים $|a_{n}-L|<{\frac {\epsilon }{2}}$, וגם קיים $z_{2}$ כך שלכל $n>z_{2}$ מתקיים $|a_{n}-M|<{\frac {\epsilon }{2}}$, לכן נבחר $z=\max(z_{1},z_{2})$ ולכן שני התנאים יתקיימו, ולכן מתקיים $|L-M|=|L-a_{n}+a_{n}-M|\leq |a_{n}-L|+|a_{n}-M|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$, אבל זו סתירה כי נוכל לבחור $\epsilon ={\frac {|L-M|}{5}}$ ואז נקבל שמתקיים $|L-M|<{\frac {|L-M|}{5}}$, לכן ההנחה שלנו שגויה, ומתקיים $L=M$. $\blacksquare$. נניח שמתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=L$ נבחר $\epsilon =1$, אז לפי הגדרת הגבול קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $L-1<a_{n}<L+1$, , נבחר $z_{1}=\min(a_{1},a_{2},a_{3}...a_{N})$,ונבחר $z_{2}=\max(a_{1},a_{2},a_{3}....a_{N})$ לכן לכל $n$, מתקיים $z_{1}<L-1<a_{n}<L+1<z_{2}$, ולכן $a_{n}$ חסומה. כיוון שמתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=0$, נוכל לבחור על פי הגדרת הגבול ב$\epsilon ={\frac {\epsilon }{M}}$, וקיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ יתקיים $|a_{n}|<{\frac {\epsilon }{M}}$, לכן נכפול את האי שוויון האחרון ב$|b_{n}|<M$, ונקבל $|a_{n}||b_{n}|<{\frac {\epsilon }{M}}M\implies |a_{n}b_{n}-0|=|a_{n}b_{n}|<\epsilon$, ולכן על פי הגדרת הגבול מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}b_{n}=0$. $\blacksquare$ נניח שמתקיים לכל $n\in \mathbb {N}$, השוויון $b_{n}=a_{n+s}$, וגם מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=L$. לפי הגדרת הגבול, לכל $\epsilon >0$ קיים $N_{0}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N_{0}$ מתקיים $|a_{n}-L|<\epsilon$,לכן נבחר $N=\max(1,N_{0}-s)$, וכיוון שמתקיים לכל $n$ השוויון $a_{n}=b_{n-s}$, נקבל שלכל $n>N$ מתקיים $|a_{n}-L|<\epsilon$ ולכן מהאי שוויון $n+s>N+s\geq (N_{0}-s)+s=N_{0}$ נקבל ש$|b_{n}-L|<\epsilon$ $\blacksquare$ נניח שמתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=L$ וגם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=M$, כאשר $L<M$. נגדיר $\epsilon ={\frac {B-A}{5}}$, ולכן על פי הגדרת הגבול קיים $N_{0}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N_{0}$ מתקיים $L-\epsilon <a_{n}<L+\epsilon$, וגם קיים $N_{1}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $M-\epsilon <b_{n}<M+\epsilon$ , מתקיים $2\epsilon ={\frac {2(L-M)}{5}}<L-M$, ולכן $L+\epsilon <M-\epsilon$, כעת נוכל להגדיר $N=\max(N_{0},N_{1})$ ונקבל שלכל $n>N$ מתקיים $a_{n}<L+\epsilon <M-\epsilon <b_{n}$, ומטרנזיטיביות היחס $<$ נקבל $a_{n}<b_{n}$ כמעט לכל $n$. $\blacksquare$. הוכחה בעזרת משפט כלל הסדר הראשון: נניח בשלילה שמתקיים לכל $n$ האי שוויון $a_{n}\leq b_{n}$ אבל מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}>{\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}$, לכן לפי המשפט הראשון לכלל הסדר של גבולות מתקיים $a_{n}>b_{n}$ בסתירה להנחה. הוכחה ללא שימוש במשפט: ניח בשלילה שמתקיים לכל $n$ האי שוויון $a_{n}\leq b_{n}$ אבל מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}>{\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}$, נסמן ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=L$, ו${\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=M$, לכן לפי ההנחה מתקיים $L>M$, לפי הגדרת הגבול, נגדיר $\epsilon ={\frac {L-M}{5}}$, ולכן קיים $N_{0}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N_{0}$ מתקיים $L-\epsilon <a_{n}<L+\epsilon$, וגם קיים $N_{1}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $M-\epsilon <b_{n}<M+\epsilon$, נבחר $N=\max(N_{0},N_{1})$, ונקבל שמתקיים $a_{n}>L-\epsilon$ וגם מתקיים $b_{n}<M+\epsilon$, אבל מתקיים $L>M$ ולכן גם מתקיים $L>M+{\frac {2(L-M)}{5}}$ כלומר $L>M+{\frac {L-M}{5}}+{\frac {L-M}{5}}$ נעביר אגף ונקבל $L-{\frac {L-M}{5}}>M+{\frac {L-M}{5}}$, אבל הביטוי הזה הוא בדיוק $L-\epsilon >M+\epsilon$, ולכן קיבלנו מהאי שוויון הקודם, שמתקיים $a_{n}>L-\epsilon >M+\epsilon >b_{n}$, ולכן לפי טרנזיטיביות היחס $<$ נקבל שמתקיים $a_{n}>b_{n}$ לכן $n>N$, בסתירה לכך ש$a_{n}\leq b_{n}$, לכן ההנחה שלנו הייתה שגויה, ומתקיים בהכרח ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}\leq {\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}$. $\blacksquare$ יהי $\epsilon >0$, נניח שמתקיים $a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$ כמעט לכל $n$, וגם נניח שמתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}={\underset {n\to \infty }{\lim }}c_{n}$ נבחר את $N_{0}$ להיות האינדקס שהחל ממנו זה מתקיים, לפי הגדרת הגבול, קיים $N_{1}\in \mathbb {N}$ כך שמתקיים $|a_{n}-L|<\epsilon$, וגם קיים $N_{2}\in \mathbb {N}$ כך שמתקיים $|c_{n}-L|<\epsilon$, נבחר $N=\max(N_{0},N_{1},N_{2})$, ולכן מתקיים $L-\epsilon <a_{n}<c_{n}<L+\epsilon$, אבל מהאי שוויון $a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$, נובע שמתקיים גם $L-\epsilon <a_{n}<b_{n}<c_{n}<L+\epsilon$, ולכן מטרנזיטיביות היחס $<$ נקבל $L-\epsilon <b_{n}<L+\epsilon$, ולכן ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}={\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}={\underset {n\to \infty }{\lim }}c_{n}=L$ כנדרש. $\blacksquare$

כעת יש בידינו עוד קצת כלים, אבל עדיין יש רשימה של משפטים מאוד חשובים(וגם די טריוויאלים) שנצטרך כדי להמשיך לבנות את התאוריה היפה הזו שנקראת חשבון אינפיניטסמלי, אז כעת נעבור קבוצת המשפטים הבאה, שהיא לא אחרת מאשר אריתמטיקה של גבולות, כמו מקודם, אציין את המשפטים ולאחר מכן אוכיח אותם.

אריתמטיקה של גבולות

משפט 2: אריתמטיקה של גבולות בכל אחד מהמשפטים, נניח שהסדרות $(a_{n})_{n=1}^{\infty },(b_{n})_{n=1}^{\infty }$ מתכנסות. אם מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=L$, אזי הסדרה $(a_{n}\cdot c)_{n=1}^{\infty }$ גם היא מתכנסת, ומתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}c\cdot a_{n}=c{\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}$ אם מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=L$ וגם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=M$, אזי מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}+{\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=L+M$ אם מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=L$ וגם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=M$, אזי מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}-{\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=L-M$ אם מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=L$ וגם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=M$, אזי מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}b_{n}=LM$ לכל $r\in \mathbb {N}$ מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}(a_{n}^{r})=({\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n})^{r}$. אם מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=L$ וגם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=M\not =0$, אזי מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {{\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}}{{\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}}}$. הוכחה: כיוון שהסדרה $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת, נסמן את גבולה $L$, כלומר ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=L$, במקרה הזה נוכל להניח שמתקיים $c\not =0$, כיוון שאם $c=0$ הסדרה קבועה והטענה מתקיימת באופן טריוויאלי. יהי $\epsilon >0$, לפי הגדרת הגבול קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $|a_{n}-L|<{\frac {\epsilon }{|c|}}$, נכפול את שני האגפים ב$|c|$ ונקבל $|c||a_{n}-L|<|c|{\frac {\epsilon }{|c|}}$ ולכן $|c(a_{n}-L)|<\epsilon$, כלומר $|ca_{n}-cL|<\epsilon$, ולכן הסדרה $(ca_{n})_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת, וגבולה שווה ל$c\cdot {\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=c\cdot L$. $\blacksquare$ יהי $\epsilon >0$, לפי הגדרת הגבול קיים $N_{0}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N_{0}$ מתקיים $|a_{n}-L|<{\frac {\epsilon }{2}}$, וגם קיים $N_{1}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $|b_{n}-L|<{\frac {\epsilon }{2}}$, נבחר $N=\max(N_{0},N_{1})$, ונקבל שמתקיים $|a_{n}+b_{n}-(L+M)|=|a_{n}+b_{n}-L-M|=|a_{n}-L+b_{n}-M|\leq |a_{n}-L|+|b_{n}-L|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$, ולכן מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}+{\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=L+M$. $\blacksquare$. נניח שמתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=L$ וגם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=M$ אם נסמן $a_{n}-b_{n}=a_{n}+(-1)b_{n}$, נקבל על סמך שני המשפטים הקודמים, שמתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}+(-1)b_{n}={\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}+{\underset {n\to \infty }{\lim }}(-1)b_{n}={\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}+(-1){\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=L-M$ $\blacksquare$. נניח שמתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=L$ וגם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=M$, נסמן $a_{n}b_{n}=(a_{n}-L+L)b_{n}$, לכן על סמך המשפטים הקודמים שהוכחנו, מתקיים $${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}b_{n}={\underset {n\to \infty }{\lim }}(a_{n}-L+L)b_{n}={\underset {n\to \infty }{\lim }}(a_{n}-L)b_{n}+{\underset {n\to \infty }{\lim }}L\cdot b_{n}={\underset {n\to \infty }{\lim }}(L-L){\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}+{\underset {n\to \infty }{\lim }}L\cdot b_{n}=0+{\underset {n\to \infty }{\lim }}L\cdot b_{n}=L{\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=L\cdot M$$ $\blacksquare$. אם מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=L$, אז לפי המשפט הקודם שהוכחנו, על מכפלת גבולות, מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}(a_{n}^{r})={\underset {n\to \infty }{\lim }}(\underbrace {a_{n}\cdot a_{n}\cdot a_{n}...\cdot a_{n}} _{r})=\underbrace {{\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}\cdot {\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}\cdot {\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}...\cdot {\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}} _{r}=L^{r}$ $\blacksquare$ נניח שמתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=L$ וגם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=M\not =0$,ונסתמך על משפטי חיסור הפרש,סכום,מכפלת גבולות,חסימות של סדרה מתכנסת, וגבול של סדרה חסומה כפול סדרה אפסה, ונקבל שמתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-{\frac {L}{M}}={\underset {n\to \infty }{\lim }}{\frac {1}{b_{n}}}\cdot {\frac {a_{n}\cdot M-b_{n}\cdot L}{M}}={\underset {n\to \infty }{\lim }}{\frac {1}{b_{n}}}\cdot {\frac {L\cdot M-M\cdot L}{M}}={\underset {n\to \infty }{\lim }}{\frac {1}{b_{n}}}\cdot {\underset {n\to \infty }{\lim }}0=0$, ולכן ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {L}{M}}$. $\blacksquare$

כעת צברנו עוד קצת כלים, אבל עדיין יש משהו שנראה לנו לא ממש ברור, מה נעשה עם סדרות מהסגנון שלא שואף לערך סופי? כלומר, סדרה כמו $a_{n}=n$?, שככל שנתקדם גבוה יותר עם האינדקסים, איברי הסדרה יגדלו ויגדלו... בשביל זה יש לנו את ההגדרה הבאה:

גבול במובן הרחב

הגדרה 2: התכנסות במובן הרחב תהי $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ סדרה, אם היא מתכנסת לגבול סופי, או ל$\infty ,-\infty$, נאמר שהסדרה מתכנסת במובן הרחב

הגדרה 3: שאיפה לאינסוף ומינוס אינסוף נאמר שהסדרה $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ שואפת ל$\infty ,$, אם ורק אם לכל $M$ קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $a_{n}>M$, ונאמר שהסדרה $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ שואפת ל$-\infty ,$, אם ורק אם לכל $M$ קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $a_{n}<M$.

אינטואיטיבית, מה שההגדרה אומרת, זה שאם נרצה להוכיח שסדרה שואפת לאינסוף, אז לכל איבר שנבחר, קיים אינדקס מסויים שממנו ואילך איברי הסדרה גדולים מהמספר שבחרנו, ואם אנחנו רוצים להוכיח לגבי מינוס אינסוף, נצטרך שהחל מאינדקס זה, כל איברי הסדרה קטנים מהמספר שבחרנו.

דוגמה: נוכיח שהסדרה $a_{n}=n$ שואפת לאינסוף, כלומר שמתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=\infty$. הוכחה: יהי $M\in \mathbb {R}$, נבחר $N=\lceil M\rceil$, ומתקיים $n>N=\lceil M\rceil \geq M$, ולכן $n>M$, ומתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=\infty$.

כעת נעבור למשפטים חשובים לגבי שאיפה לאינסוף, חלקם טריוויאלים וחלקם פחות, כמו מקודם, אציין את המשפטים ולאחר מכן אוכיח אותם בסדר מתאים.

אריתמטיקת גבולות באינסוף

משפט 3: אריתמטיקת גבולות אינסופיים תהיו $(a_{n})_{n=1}^{\infty },(b_{n})_{n=1}^{\infty }$ סדרות, אז: אם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=\infty$ וגם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=\infty$, אז ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}+b_{n}=\infty$. אם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=\infty$ וגם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=L\in \mathbb {R}$, אז ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}+b_{n}=\infty$. אם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=\infty$ וגם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=\infty$, אז ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}\cdot b_{n}=\infty$. אם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=\infty$ וגם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=L\in \mathbb {R}$, אז ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}\cdot b_{n}=\infty$. אם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=\infty$ אז ${\underset {n\to \infty }{\lim }}{\frac {1}{a_{n}}}=0$. אם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=0$ וגם $a_{n}>0$ לכל $n$ אז ${\underset {n\to \infty }{\lim }}{\frac {1}{a_{n}}}=\infty$.

הוכחה:

• כיוון שמתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=\infty$, קיים $N_{0}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $a_{n}>0$, וכיוון ש${\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=\infty$ לכל $M$ קיים $N_{1}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $b_{n}>M$, לכן נבחר $N=\max(N_{0},N_{1})$, אז מתקיים $b_{n}>M$ וכיוון ש$a_{n}>0$, נקבל שמתקיים גם $a_{n}+b_{n}>M$, ולכן ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}+b_{n}=\infty$ $\blacksquare$.

• כיוון שמתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=L\in \mathbb {R}$, קיים $N_{0}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $b_{n}>L-1$, וכיוון ש${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=\infty$, לכל $M$ קיים $N_{1}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $a_{n}>M-(L-1)$, לכן נבחר $N=\max(N_{0},N_{1})$, ונקבל $a_{n}+b_{n}>M-(L-1)+L-1=M$, ולכן ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}+b_{n}=\infty$. $\blacksquare$.

• כיוון שמתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=\infty$, קיים $N_{0}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $a_{n}>1$, וכיוון ש${\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=\infty$ לכל $M$ קיים $N_{1}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $b_{n}>M$, לכן נבחר $N=\max(N_{0},N_{1})$, אז מתקיים $b_{n}>M$ וכיוון ש$a_{n}>1$, נקבל שמתקיים גם $a_{n}\cdot b_{n}>M$, ולכן ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}\cdot b_{n}=\infty$. $\blacksquare$.

• כיוון שמתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=\infty$,לכל $M$ קיים $N_{0}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $a_{n}>{\frac {5M}{L}}$, וכיוון ש${\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=L>0$ קיים $N_{1}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $b_{n}>{\frac {L}{5}}$, לכן נבחר $N=\max(N_{0},N_{1})$, אז מתקיים $a_{n}>{\frac {M}{5L}}$ וגם $b>{\frac {L}{5}}$, לכן $a_{n}b_{n}>{\frac {5M}{L}}\cdot {\frac {L}{5}}=M$, ולכן ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}\cdot b_{n}=\infty$. $\blacksquare$.

• יהי $\epsilon >0$, כיוון שמתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=\infty$, אזי קיים $N_{0}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $a_{n}>{\frac {1}{\epsilon }}$, ולכן ${\frac {1}{a_{n}}}<\epsilon$, ולפי תכונות הערך המוחלט $|{\frac {1}{a_{n}}}|<\epsilon$, ולפי הגדרת הגבול מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=0$. $\blacksquare$.

• יהי $\epsilon >0$, לפי הגדרת הגבול ומההנחה שמתקיים $a_{n}>0$, קיים $N_{0}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $a_{n}<\epsilon$, ולכן ${\frac {1}{a_{n}}}>{\frac {1}{\epsilon }}$, לכן לכל $M$ נבחר $\epsilon ={\frac {1}{M}}$ ולכן ${\frac {1}{a_{n}}}>{\frac {1}{\epsilon }}=M$, ולפי הגדרת הגבול במובן הרחב מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}{\frac {1}{a_{n}}}=\infty$ $\blacksquare$.

עוד משפט טריוויאלי אך חשוב:

משפט 4: קריטריון ההשוואה לגבולות אינסופיים אם מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=\infty$, וגם מתקיים $b_{n}\geq a_{n}$ כמעט לכל $n$, אז גם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=\infty$. הערה: המשפט תקף גם לשאיפה למינוס אינסוף, כאשר מחליפים את צד האי שוויון.

הוכחה:

נניח שמתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=\infty$, לכן לכל $M$ קיים $N_{0}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N_{0}$ מתקיים $a_{n}>M$, ולפי ההנחה קיים גם $N_{1}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $b_{n}\geq a_{n}$, נבחר $N=\max(N_{0},N_{1})$, ולכן מתקיים $b_{n}\geq a_{n}>M$, ומטרנזייביות היחס $<$ נקבל שמתקיים $b_{n}>M$, ולכן ${\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=\infty$. ההוכחה במקרה של שאיפה למינוס אינסוף אנלוגית.

ובכך סיימנו את הדיון שלנו על גבולות במובן הסופי והרחב, הוכחנו משפטים יסודיים וחשובים, ובפעם הבאה נתעסק בסדרות חסומות, בכמה מושגים חדשים, בתכונותיהן ובכמה משפטים מרכזיים הנוגעים בסדרות חסומות.