סכום והפרש [ עריכה ]
דף זה זקוק לעריכה, על מנת שיתאים לסטנדרטים של ויקיספר העברי דף השיחה שלו.
הנגזרת של סכום או הפרש שתי פונקציות היא סכום או הפרש הנגזרות של שניהם
[
f
(
x
)
±
g
(
x
)
]
′
=
lim
h
→
0
[
f
(
x
+
h
)
±
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
∓
g
(
x
)
h
]
=
lim
h
→
0
[
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
±
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
h
]
{\displaystyle {{\Big [}f(x)\pm g(x){\Big ]}'=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)\pm g(x+h)-f(x)\mp g(x)}{h}}\right]=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\pm {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]}}
=
lim
h
→
0
[
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
]
±
lim
h
→
0
[
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
h
]
=
f
′
(
x
)
±
g
′
(
x
)
{\displaystyle =\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right]\pm \lim _{h\to 0}\left[{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]=f'(x)\pm g'(x)}
הנגזרת של מכפלת שתי פונקציות שווה לסכום של מכפלת כל אחת בנגזרת של השנייה
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
′
=
lim
h
→
0
[
f
(
x
+
h
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
h
]
=
lim
h
→
0
[
f
(
x
+
h
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
+
h
)
g
(
x
)
+
f
(
x
+
h
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
h
]
=
{\displaystyle {\Big [}f(x)g(x){\Big ]}'=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\right]=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}}\right]=}
=
lim
h
→
0
[
f
(
x
+
h
)
⋅
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
h
]
+
lim
h
→
0
[
g
(
x
)
⋅
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
]
=
f
(
x
)
g
′
(
x
)
+
f
′
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle =\lim _{h\to 0}\left[f(x+h)\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]+\lim _{h\to 0}\left[g(x)\cdot {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right]=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)}
הנגזרת של מנה שווה להפרש של מכפלת כל פונקציה בנגזרת של חברתה, לחלק לפונקציה שבמכנה בחזקת שתיים
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
′
=
[
f
(
x
)
⋅
1
g
(
x
)
]
′
=
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
g
(
x
)
2
+
f
′
(
x
)
g
(
x
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
g
(
x
)
2
{\displaystyle \left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]'=\left[f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right]'=-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}+{\frac {f'(x)}{g(x)}}={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}}
(על פי נגזרת של פונקציה רציונלית
(
(
1
x
)
′
=
−
1
x
2
)
{\displaystyle \left(\left({\frac {1}{x}}\right)'=-{\frac {1}{x^{2}}}\right)}
פונקציה מורכבת [ עריכה ] הנגזרת של פונקציה מורכבת שווה לנגזרת של הפונקציה החיצונית (כאשר המשתנה הוא הפונקציה הפנימית) כפול הנגזרת של הפונקציה הפנימית (במשתנה x)
[
f
(
g
(
x
)
)
]
′
=
lim
h
→
0
[
f
(
g
(
x
+
h
)
)
−
f
(
g
(
x
)
)
h
]
=
lim
h
→
0
[
f
(
g
(
x
+
h
)
)
−
f
(
g
(
x
)
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
⋅
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
h
]
=
lim
h
→
0
f
(
g
(
x
+
h
)
)
−
f
(
g
(
x
)
)
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
lim
h
→
0
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
h
=
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle {\Big [}f(g(x)){\Big ]}'=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(g(x+h))-f(g(x))}{h}}\right]=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(g(x+h))-f(g(x)}{g(x+h)-g(x)}}\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]=\lim _{h\to 0}{\frac {f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}}\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=f'(g(x))g'(x)}
![{\displaystyle {{\Big [}f(x)\pm g(x){\Big ]}'=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)\pm g(x+h)-f(x)\mp g(x)}{h}}\right]=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\pm {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a15d906c7aa0e4a3c74286a69f8c005f8a108bd)
![{\displaystyle =\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right]\pm \lim _{h\to 0}\left[{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]=f'(x)\pm g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e782809d7e20d241c0e6fd96b1597cffb679c86)
![{\displaystyle {\Big [}f(x)g(x){\Big ]}'=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\right]=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85ef955ecac7a12f9cf7dbd761ce841eed1a4525)
![{\displaystyle =\lim _{h\to 0}\left[f(x+h)\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]+\lim _{h\to 0}\left[g(x)\cdot {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right]=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/360973667a189aadbbbb17b043ff92019a49e565)
![{\displaystyle \left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]'=\left[f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right]'=-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}+{\frac {f'(x)}{g(x)}}={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a4fc5b7031125ac7a1e5cec69f0133005d9024)
![{\displaystyle {\Big [}f(g(x)){\Big ]}'=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(g(x+h))-f(g(x))}{h}}\right]=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(g(x+h))-f(g(x)}{g(x+h)-g(x)}}\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]=\lim _{h\to 0}{\frac {f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}}\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=f'(g(x))g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cfcfaf77aa3808a9928e27a1300ad1e729c84e6)