חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הוכחות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בפרק זה יוצגו הוכחות למשפטים שהוצגו בפרק הגבולות ללא הוכחה, כדוגמת חוקי הגבולות וכלל הסנדוויץ'.

חוקי הגבולות[עריכה]

את כל חוקי הגבולות שהוצגו קודם לכן ניתן להוכיח באמצעות ההגדרה המדויקת של הגבול. נוכיח כמה מהם בדרך זו.

חוקים בסיסיים[עריכה]

הגבול של קבוע[עריכה]

אמרנו כי במידה ו- הוא מספר קבוע, אז גבול הקבוע שווה לקבוע, כלומר:


משפט: הגבול של פונקציה קבועה

זהו חוק פשוט אך חשוב וקל להוכיחו.

הוכחה

יהי . נראה שקיים מתאים כך שלכל מתקיים .

אבל כאן הפונקציה היא הקבוע , לכן שכן . לכן החוק מתקיים תמיד, לא משנה איזו נבחר.

הגבול של פונקציית הזהות[עריכה]

קבענו כי הגבול של פונקציית הזהות שווה ל- , כאשר הוא המספר אליו שואף, כלומר:


משפט: הגבול של פונ' הזהות

הוכחה

יהי . נראה שקיים מתאים כך שלכל מתקיים .

אבל כאן הפונקציה היא פונקציית הזהות , לכן . נבחר ואז .

אריתמטיקה של גבולות[עריכה]

משפט: אריתמטיקה של גבולות סופיים

נניח פונקציות המוגדרות בסביבת נקודה ובעלות גבולות סופיים . אז:

  • .
  • לכל קבוע  :‏ .
  • .
  • אם אז: .

נוכיח את המשפט הזה לחלקיו:

סכום והפרש גבולות[עריכה]

אם הגבולות קיימים אז גבול הסכום וההפרש שלהם הוא סכום והפרש הגבולות, כלומר .

הוכחה

יהי . נראה שקיים מתאים כך שלכל מתקיים . נסדר מעט אי-שוויון זה ונקבל:

במעבר השני נעשה שימוש באי-שוויון המשולש אז .

אם כל אחד משני הביטויים שקיבלנו בסוף יהיה קטן מ- , אז נקבל כדרוש.

מכיון שנתונים לנו הגבולות של ו- , אין זו בעיה להגבילם.

  1. , כלומר קיים כך שלכל מתקיים .
  2. , כלומר קיים כך שלכל מתקיים .

נבחר , לפיכך אם אז מתקיים וגם כך שמתקיים וגם .

לפיכך, החוק מוכח לפי הגדרת הגבול.

מכפלת גבול בקבוע[עריכה]

אם הגבול קיים, אזי גבול המכפלה בקבוע שווה למכפלת הקבוע בגבול הפונקציה, כלומר .

הוכחה

יהי .

אם הטענה מיידית:

אם נראה שקיים כך שלכל מתקיים .

, לכן קיים כך שלכל מתקיים .

לפיכך, החוק מוכח לפי הגדרת הגבול.

מכפלת גבולות[עריכה]

החוק למכפלת גבולות הוא הכללה של החוק למכפלת גבול בקבוע (אם אחת מהפונקציות המוכפלות היא קבוע).

אם הגבולות קיימים אז גבול מכפלת הפונקציות שווה למכפלת גבולות הפונקציות, כלומר .

הוכחה

יהי . נראה שקיים כך שלכל מתקיים .


, לכן היא חסומה וקיים כך שמתקיימים בו זמנית המקרים: לכל וגם , עבור כלשהו.

קיים כך שמתקיים לכל .

קיים כך שמתקיים לכל .

נבחר . לפיכך,

מנת גבולות[עריכה]

אם הגבולות קיימים אז גבול מנת הפונקציות שווה למנת גבולות הפונקציות, כלומר .

הוכחה

יש להראות כי לכל קיים כך שלכל מתקיים . על-ידי מכנה משותף נקבל:

קיים כלשהו כך שמתקיימים המקרים וגם .

  • קיים כך שלכל מתקיים . מכאן:

  • קיים כך שלכל מתקיים .
  • קיים כך שלכל מתקיים .

נבחר . לפיכך,

משפטים מתקדמים[עריכה]

מונוטוניות של גבולות[עריכה]

משפט: מונוטוניות של גבולות

אם לכל בקטע פתוח כלשהו המכיל את (מלבד אולי ב- עצמו) ואם הגבולות קיימים, אזי .


הוכחה

נניח בשלילה כי .

החוק להפרש גבולות אומר כי , לכן לכל קיים כך שמתקיים כאשר .

ניקח למטרותינו בהוכחה זו וקיים עבורו כך שמתקיים כאשר .


לכל מתקיים , לכן כאשר מתקיים .

מהעברת אגפים נקבל (כאשר ).

הדבר עומד בסתירה לנתון ולכן הנחתנו כי שגויה.

לכן .

כלל הסנדוויץ'[עריכה]

ניזכר בכלל הסנדוויץ'. הכלל אומר:


משפט: כלל הסנדוויץ'

אם הן פונקציות המקיימות וכן

אז הגבול של בנקודה קיים וערכו


למרות שמדובר בכלל רב-עצמה, ההוכחה שלו היא פשוטה ואלגנטית.

הוכחה

יהי .

, לכן קיים כך שמתקיים כאשר . כלומר כאשר .

, לכן קיים כך שמתקיים כאשר . כלומר כאשר .

נבחר . לפיכך:

מכאן,

לפיכך כאשר . לכן .

שימושים לכלל הסנדוויץ'[עריכה]

המשפט הבא הנו משפט חשוב מאוד, אשר הוכחתו קלה בעזרת כלל הסנדוויץ':


משפט: פונקציה אפסה מוכפלת בחסומה

תהיינה פונקציות המוגדרות בקטע המכיל נקודה (אך לא בהכרח בנקודה) כך ש- וכן חסומה בקטע.

אז קיים הגבול .


הוכחה

חסומה בקטע, נניח ע"י חסם כך ש- . לכן .

מקיום הגבול נסיקים בעזרת אריתמטיקה של הגבולות כי

ונקבל ע"פ כלל הסנדוויץ' .


שימו לב שעל אנו יודעים רק שהיא חסומה, אך אינה בהכרח בעלת גבול בנקודה, ולמעשה היא גם לא חייבת להיות בעלת גבולות חד-צדדיים.

דוגמא

הוכח כי קיים הגבול ומצא את ערכו.

נסמן .

ע"פ משפט "גבול של פונקציית הזהות" () נקבל , בעוד שידוע שפונקציית הסינוס חסומה ע"י 1, ולכן נקבל כי הגבול קיים וערכו הוא 0.

אריתמטיקה של גבולות אינסופיים[עריכה]

משפטי גבולות באינסוף[עריכה]

הנושא הקודם בפרק זה
חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול
בחזרה לעמוד הפתיחה
חשבון אינפיניטסימלי/גבולות

הנושא הבא בחשבון אינפינטיסימלי: חשבון אינפיניטסימלי/רציפות