בפרק זה יוצגו הוכחות למשפטים שהוצגו בפרק הגבולות ללא הוכחה, כדוגמת חוקי הגבולות וכלל הסנדוויץ'.
חוקי הגבולות[עריכה]
את כל חוקי הגבולות שהוצגו קודם לכן ניתן להוכיח באמצעות ההגדרה המדויקת של הגבול. נוכיח כמה מהם בדרך זו.
חוקים בסיסיים[עריכה]
הגבול של קבוע[עריכה]
אמרנו כי אם
הוא מספר קבוע, אז גבול הקבוע שווה לקבוע, כלומר:
משפט: הגבול של פונקציה קבועה
|
זהו חוק פשוט אך חשוב וקל להוכיחו.
- הוכחה
יהי
. נראה שקיים
מתאים כך שלכל
מתקיים
.
אבל כאן הפונקציה היא הקבוע
, לכן
שכן . לכן החוק מתקיים תמיד, לא משנה איזו
נבחר.
הגבול של פונקציית הזהות[עריכה]
קבענו כי הגבול של פונקציית הזהות
שווה ל-
, כאשר
הוא המספר אליו
שואף, כלומר:
משפט: הגבול של פונ' הזהות
|
- הוכחה
יהי
. נראה שקיים
מתאים כך שלכל
מתקיים
.
אבל כאן הפונקציה היא פונקציית הזהות
, לכן
. נבחר
ואז
.
אריתמטיקה של גבולות[עריכה]
נוכיח את המשפט הזה לחלקיו:
סכום והפרש גבולות[עריכה]
אם הגבולות
קיימים אז גבול הסכום וההפרש שלהם הוא סכום והפרש הגבולות, כלומר
.
- הוכחה
יהי
. נראה שקיים
מתאים כך שלכל
מתקיים
. נסדר מעט אי-שוויון זה ונקבל:
במעבר השני נעשה שימוש באי-שוויון המשולש
אז
.
אם כל אחד משני הביטויים שקיבלנו בסוף יהיה קטן מ-
, אז נקבל
כדרוש.
מכיון שנתונים לנו הגבולות של
ו-
, אין זו בעיה להגבילם.
, כלומר קיים
כך שלכל
מתקיים
.
, כלומר קיים
כך שלכל
מתקיים
.
נבחר
, לפיכך אם
אז מתקיים
וגם
כך שמתקיים
וגם
.
לפיכך, החוק מוכח לפי הגדרת הגבול.
מכפלת גבול בקבוע[עריכה]
אם הגבול
קיים, אזי גבול המכפלה בקבוע שווה למכפלת הקבוע בגבול הפונקציה, כלומר
.
- הוכחה
יהי
.
אם
הטענה מיידית:
אם
נראה שקיים
כך שלכל
מתקיים
.
, לכן קיים
כך שלכל
מתקיים
.
לפיכך, החוק מוכח לפי הגדרת הגבול.
מכפלת גבולות[עריכה]
החוק למכפלת גבולות הוא הכללה של החוק למכפלת גבול בקבוע (אם אחת מהפונקציות המוכפלות היא קבוע).
אם הגבולות
קיימים אז גבול מכפלת הפונקציות שווה למכפלת גבולות הפונקציות, כלומר
.
- הוכחה
יהי
. נראה שקיים
כך שלכל
מתקיים
.
, לכן היא חסומה וקיים
כך שמתקיימים בו זמנית המקרים:
לכל
וגם
, עבור
כלשהו.
קיים
כך שמתקיים
לכל
.
קיים
כך שמתקיים
לכל
.
נבחר
. לפיכך,
מנת גבולות[עריכה]
אם הגבולות
קיימים אז גבול מנת הפונקציות שווה למנת גבולות הפונקציות, כלומר
.
- הוכחה
יש להראות כי לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
. על-ידי מכנה משותף נקבל:
קיים
כלשהו כך שמתקיימים המקרים
וגם
.
- קיים
כך שלכל
מתקיים
. מכאן:
- קיים
כך שלכל
מתקיים
.
- קיים
כך שלכל
מתקיים
.
נבחר
. לפיכך,
משפטים מתקדמים[עריכה]
מונוטוניות של גבולות[עריכה]
- הוכחה
נניח בשלילה כי
.
החוק להפרש גבולות אומר כי
, לכן לכל
קיים
כך שמתקיים
כאשר
.
ניקח למטרותינו בהוכחה זו
וקיים עבורו
כך שמתקיים
כאשר
.
לכל
מתקיים
, לכן כאשר
מתקיים
.
מהעברת אגפים נקבל
(כאשר
).
הדבר עומד בסתירה לנתון
ולכן הנחתנו כי
שגויה.
לכן
.
כלל הסנדוויץ'[עריכה]
ניזכר בכלל הסנדוויץ'. הכלל אומר:
למרות שמדובר בכלל רב-עצמה, ההוכחה שלו היא פשוטה ואלגנטית.
- הוכחה
יהי
.
, לכן קיים
כך שמתקיים
כאשר
. כלומר
כאשר
.
, לכן קיים
כך שמתקיים
כאשר
. כלומר
כאשר
.
נבחר
. לפיכך:
מכאן,
לפיכך
כאשר
. לכן
.
שימושים לכלל הסנדוויץ'[עריכה]
המשפט הבא הנו משפט חשוב מאוד, אשר הוכחתו קלה בעזרת כלל הסנדוויץ':
- הוכחה
חסומה בקטע, נניח ע"י חסם
כך ש-
. לכן
.
מקיום הגבול
נסיקים בעזרת אריתמטיקה של הגבולות כי
ונקבל ע"פ כלל הסנדוויץ'
.
שימו לב שעל
אנו יודעים רק שהיא חסומה, אך אינה בהכרח בעלת גבול בנקודה, ולמעשה היא גם לא חייבת להיות בעלת גבולות חד-צדדיים.
- דוגמא
הוכח כי קיים הגבול
ומצא את ערכו.
נסמן
.
ע"פ משפט "גבול של פונקציית הזהות" (
) נקבל
, בעוד שידוע שפונקציית הסינוס חסומה ע"י 1, ולכן נקבל כי הגבול קיים וערכו הוא 0.
אריתמטיקה של גבולות אינסופיים[עריכה]
משפטי גבולות באינסוף[עריכה]
הנושא הבא בחשבון אינפינטיסימלי: חשבון אינפיניטסימלי/רציפות