חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/פונקציות

חשבון אינפיניטסימלי

פונקציות יהיו הנושא העיקרי בו נעסוק בקורס זה. לעת עתה נציג מבוא קצר לפונקציות, על מנת לתת מעט מידע כללי על מושג חשוב זה.

הגדרה

כללי

פונקציה הנה התאמה של אברים מקבוצה הנקראת "תחום הגדרת הפונקציה" (או בקיצור: תחום) לקבוצה הנקראת "תמונת הפונקציה" (או בקיצור: תמונה). במילים אחרות, התחום הנו קבוצת כל האברים עליהם ניתן להפעיל את הפונקציה (כלומר כל האברים שהפונקציה יכולה לקבל), והתמונה הינה קבוצת כל הערכים שיכולים להתקבל כתוצאה מהפעלת הפונקציה על האברים בתחום. אם התמונה מהווה תת-קבוצה של קבוצה גדולה אחרת, הקבוצה הגדולה יותר תקרא "טווח הפונקציה" או בקיצור "טווח".

ההתאמה הנה חד-ערכית, כלומר לכל אבר בתחום הגדרת הפונקציה מותאם אבר יחיד בקבוצת הטווח. במילים אחרות, אם נתונה פונקציה $f$ ואבר $x_{0}$ בתחום הפונקציה, קיים $y_{0}$ יחיד בטווח הפונקציה המותאם אליו. מסמנים זאת כך: $f(x_{0})=y_{0}$ .

אופן הכתיבה

נהוג לכתוב פונקציה באופן הבא:
${\begin{matrix}f(x):&A&\to &B\\&x&\mapsto &f(x)\end{matrix}}$ , כאשר: $A$ הנה התחום ו- $B$ היא הטווח.

השורה העליונה מציגה את הסימון של הפונקציה, את סימון התחום ואת סימון הטווח. השורה התחתונה נותנת את כלל ההתאמה של הפונקציה.

בתור דוגמא, נביט בפונקציה המקבלת מספר ממשי ומעלה אותו בריבוע: ${\begin{matrix}f(x):&\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\\&x&\mapsto &x^{2}\end{matrix}}$ ,

כאן $\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}$ מסמן את קבוצת כל המספרים הממשיים הגדולים או שווים ל- $0$ (המספרים האי-שליליים).

חלוקה למקרים

תהא $f(x)$ פונקציה, הפועלת בצורה שונה על מספרים מהקבוצה $A$ ועל מספרים מהקבוצה $B$ . אזי, נכתוב את פעולת הפונקציה באופן הבא: $f(x)=\left\{{\begin{matrix}f_{1}(x)&x\in A\\f_{2}(x)&x\in B\end{matrix}}\right.$ , כאשר $f_{1}(x)$ היא הדרך בה פועלת $f(x)$ על מספרים השייכים לקבוצה $A$ , ו- $f_{2}(x)$ היא הדרך בה פועלת $f(x)$ על מספרים השייכים לקבוצה $B$ .

דוגמה: תהא $f(x)$ פונקציה שמעתיקה מספרים באופן הבא: אם המספר הוא חיובי או $0$ (מה שנקרא אי-שלילי) הפונקציה מוסיפה למספר $5$ , ואם הוא שלילי - היא מוסיפה לו $4$ . אז נכתוב את הפונקציה כך: $f(x)=\left\{{\begin{matrix}x+5&x\in \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\\x+4&x\in \mathbb {R} ^{-}\end{matrix}}\right.$ .

הגדרות נוספות

תהא $f:A\to B$ פונקציה.

1. יהא $y_{0}\in B$ כלשהו, ונניח שקיים $x_{0}\in A$ כך ש- $f(x_{0})=y_{0}$ . במקרה זה, אומרים ש- $x_{0}$ הוא מקור של $y_{0}$ .
2. יהא $y_{0}\in B$ כלשהו, ונניח שקיים $x_{0}\in A$ כך ש- $f(x_{0})=y_{0}$. במקרה זה, אומרים ש- $y_{0}$ היא התמונה של $x_{0}$ .

• שימו לב: בגלל שהפונקציה היא חד-ערכית, לכל מקור יש תמונה אחת בלבד. לתמונה, לעומת זאת, יכולים להיות שניים, שלושה ואפילו אינסוף מקורות. למשל, עבור הפונקציה הקבועה $f(x)=5$ , למספר 5 יש אינסוף מקורות כאשר התחום הוא $\mathbb {R}$ .

דוגמא: נתבונן בפונקציה:
${\begin{matrix}f(x):&\{1,2,5\}&\to &\{3,7,14\}\\&1&\mapsto &3\\&2&\mapsto &7\\&5&\mapsto &14\end{matrix}}$
במקרה זה, התחום הנו הקבוצה $\{1,2,5\}$ והתמונה הנה הקבוצה $\{3,7,14\}$ . במקרה כזה, אנו יכולים להגיד שטווח הפונקציה הוא $\mathbb {N}$ .

פונקציה הפוכה

כאמור למעלה, פונקציה היא תמיד חד-ערכית. נראה אילו תכונות נוספות פונקציה כללית $f(x)$ יכולה לקיים:

חד-חד-ערכיות

נגיד שפונקציה היא חד-חד-ערכית (ונכתוב: 1:1 או חח"ע) אם לכל אבר בטווח קיים לכל היותר מקור אחד בלבד בתחום. במקרה זה, נוכל להגיד שזהו המקור של אותו אבר בתמונה.

על

נגיד שפונקציה היא על אם לכל אבר בטווח קיים לכל הפחות מקור אחד בתחום. תכונה זו, כפי שנראה בהמשך, תלויה פעמים רבות בהגדרת הטווח.

הגדרה

לפונקציה שהיא גם חח"ע וגם על ניתן להגדיר פונקציה הפוכה, באופן הבא: אם ${\begin{matrix}f(x):&A&\to &B\\&x&\mapsto &y=f(x)\end{matrix}}$ , אזי הפונקציה ההפוכה $f^{-1}(y)$ תיראה כך:
${\begin{matrix}f^{-1}(y):&B&\to &A\\&y&\mapsto &x=f^{-1}(y)\end{matrix}}$

דוגמא: מצאו את הפונקציה ההפוכה של ${\begin{matrix}f(x):&\mathbb {N} &\to &\mathbb {Z} \\&x&\mapsto &-1\cdot x\end{matrix}}$ .

פתרון: ראשית נבדוק שמתקיימות התכונות שלמעלה: הפונקציה היא חד-חד-ערכית, כי לכל אבר בתמונה יש מקור יחיד. לעומת זאת, הפונקציה אינה על. על-מנת לפתור בעיה זו ולמצוא את הפונקציה ההפוכה, נשנה את אופן רישום הפונקציה: התמונה של הפונקציה הנה כל השלמים השליליים, כלומר $\mathbb {Z} ^{-}$ . לכן, נרשום את הפונקציה באופן הבא: ${\begin{matrix}f(x):&\mathbb {N} &\to &\mathbb {Z} ^{-}\\&x&\mapsto &-1\cdot x\end{matrix}}$ .
כעת: הפעולה ההפוכה לכפל ב- $-1$ היא כפל ב- $-1$ . לכן, הפונקציה ההפוכה תהיה: ${\begin{matrix}f(x):&\mathbb {Z} ^{-}&\to &\mathbb {N} \\&x&\mapsto &-1\cdot x\end{matrix}}$ .

במבוא זה לא ניכנס להסברים יותר מפורטים. אליהם נגיע רק בפרק השני של קורס זה.

הנושא הקודם בפרק זה מספרים רציונליים ואי-רציונליים

בחזרה לעמוד הפתיחה חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות

הנושא הבא בפרק זה: בר מניה ולא בר מניה