מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
איחוד (Unification)[ עריכה ]
נתונות הקבוצות
A
,
B
{\displaystyle A,B}
. האיחוד ביניהן יסומן כך:
C
=
A
∪
B
=
{
x
:
x
∈
A
∨
x
∈
B
}
{\displaystyle C=A\cup B=\{x:x\in A\lor x\in B\}}
כלומר הקבוצה
C
{\displaystyle C}
מורכבת מכל האברים בקבוצה
A
{\displaystyle A}
ומכל האברים בקבוצה
B
{\displaystyle B}
.
נשים לב לשימוש בכַּמָּת "או": מספיק שאבר יקיים רק אחד מהתנאים (במקרה שלנו: מספיק שאבר ישתייך רק לאחת מהקבוצות
A
{\displaystyle A}
או
B
{\displaystyle B}
) על־מנת להיות בקבוצה
C
{\displaystyle C}
.
ניתן להגדיר איחוד של מספר קבוצות:
A
∪
B
∪
C
∪
⋯
{\displaystyle A\cup B\cup C\cup \cdots }
וכו'. ואז, הקבוצה החדשה תכיל את כל האברים של כל הקבוצות.
אם
I
{\displaystyle I}
קבוצת אינדקסים (למשל: קבוצה עם
n
{\displaystyle n}
אינדקסים), נוכל להגדיר איחוד בין הקבוצות
A
i
{\displaystyle A_{i}}
(כלומר
A
{\displaystyle A}
עם אינדקס
i
{\displaystyle i}
) באופן הבא:
A
i
1
∪
⋯
∪
A
i
n
=
⋃
i
∈
I
A
i
{\displaystyle A_{i_{1}}\cup \cdots \cup A_{i_{n}}=\bigcup _{i\in I}A_{i}}
עבור
C
=
A
∪
B
{\displaystyle C=A\cup B}
מתקיים:
A
⊆
C
{\displaystyle A\subseteq C}
וגם
B
⊆
C
{\displaystyle B\subseteq C}
.
לכל קבוצה
A
{\displaystyle A}
מתקיים:
A
∪
A
=
A
,
A
∪
∅
=
A
{\displaystyle A\cup A=A,A\cup \varnothing =A}
דוגמא: נתון
A
=
{
1
,
2
,
3
}
,
B
=
{
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4\}}
. אזי
A
∪
B
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle A\cup B=\{1,2,3,4\}}
.
דוגמא נוספת, כמובטח למעלה: את קבוצת המספרים השלמים
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
נוכל לכתוב באופן הבא, במונחים של איחוד קבוצות:
Z
=
N
∪
−
N
{\displaystyle \mathbb {Z} =\mathbb {N} \cup -\mathbb {N} }
, כאשר
−
N
{\displaystyle -\mathbb {N} }
פירושו:
−
N
=
{
−
1
×
n
:
n
∈
N
}
{\displaystyle -\mathbb {N} =\{-1\times n:n\in \mathbb {N} \}}
.
חיתוך (Intersection)[ עריכה ]
נתונות הקבוצות
A
,
B
{\displaystyle A,B}
. החיתוך ביניהן יסומן כך:
C
=
A
∩
B
=
{
x
:
x
∈
A
∧
x
∈
B
}
{\displaystyle C=A\cap B=\{x:x\in A\land x\in B\}}
כלומר הקבוצה
C
{\displaystyle C}
מורכבת מהאברים שנמצאים גם בקבוצה
A
{\displaystyle A}
וגם בקבוצה
B
{\displaystyle B}
.
נשים לב לשימוש בכַּמָּת "וגם": על אבר כלשהו להשתייך הן לקבוצה
A
{\displaystyle A}
והן לקבוצה
B
{\displaystyle B}
על־מנת להיות בקבוצה
C
{\displaystyle C}
.
ניתן להגדיר חיתוך של מספר קבוצות:
A
∩
B
∩
C
∩
⋯
{\displaystyle A\cap B\cap C\cap \cdots }
. ואז, הקבוצה החדשה תכיל רק את האברים המשותפים לכל הקבוצות.
אם
I
{\displaystyle I}
קבוצת אינדקסים (למשל: קבוצה עם
n
{\displaystyle n}
אינדקסים), נוכל להגדיר חיתוך בין הקבוצות
A
i
{\displaystyle A_{i}}
(כלומר
A
{\displaystyle A}
עם אינדקס
i
{\displaystyle i}
) באופן הבא:
A
i
1
∩
⋯
∩
A
i
n
=
⋂
i
∈
I
A
i
{\displaystyle A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{n}}=\bigcap _{i\in I}A_{i}}
עבור
C
=
A
∩
B
{\displaystyle C=A\cap B}
מתקיים:
C
⊆
A
{\displaystyle C\subseteq A}
וגם
C
⊆
B
{\displaystyle C\subseteq B}
.
לכל קבוצה
A
{\displaystyle A}
מתקיים:
A
∩
A
=
A
,
A
∩
∅
=
∅
{\displaystyle A\cap A=A,A\cap \varnothing =\varnothing }
דוגמא: נתון
A
=
{
1
,
2
,
3
}
,
B
=
{
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4\}}
. אזי
A
∩
B
=
{
2
,
3
}
{\displaystyle A\cap B=\{2,3\}}
.
לכל שתי קבוצות
A
,
B
{\displaystyle A,B}
נוכל להגדיר את פעולת החיסור באופן הבא:
C
=
A
−
B
=
A
∖
B
=
{
x
∈
A
|
x
∉
B
}
{\displaystyle C=A-B=A\backslash B=\{x\in A|x\not \in B\}}
כלומר, הקבוצה
C
{\displaystyle C}
מכילה את כל אברי
A
{\displaystyle A}
שאינם נמצאים בקבוצה
B
{\displaystyle B}
.
עבור
C
=
A
∖
B
{\displaystyle C=A\backslash B}
, מתקיים:
C
⊆
A
{\displaystyle C\subseteq A}
.
לכל קבוצה
A
{\displaystyle A}
, מתקיים:
A
=
A
∖
∅
{\displaystyle A=A\backslash \emptyset }
.
דוגמא: נתון
A
=
{
1
,
2
,
3
}
,
B
=
{
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4\}}
. אזי
A
∖
B
=
{
1
}
{\displaystyle A\backslash B=\{1\}}
.
חשוב : לא להתבלבל בין סימן חיסור הקבוצות
∖
{\displaystyle \backslash }
לבין הסימן
/
{\displaystyle /}
(שמשמש, לרוב, לסימון חילוק, או בקורסים אחרים לסימון מחלקות שקילות)!!! המשמעות של כל אחד מהסימנים שונה לחלוטין!
שימו לב, שבניגוד לסימנים שראינו עד כה, כאן הסדר כן משנה. כלומר, מתקיים:
A
∪
B
=
B
∪
A
{\displaystyle A\cup B=B\cup A}
, וכן
A
∩
B
=
B
∩
A
{\displaystyle A\cap B=B\cap A}
. לעומת זאת, לרוב
A
∖
B
≠
B
∖
A
{\displaystyle A\backslash B\neq B\backslash A}
.
מאחר והגדרנו קבוצה כאוסף של אברים, אנו נבדיל בין הקבוצות לפי האברים שלהן. כלומר, הביטוי "
A
=
B
{\displaystyle A=B}
" ייכתב באופן הבא:
x
∈
A
⟺
x
∈
B
{\displaystyle x\in A\iff x\in B}
.
דוגמא חשובה : נתונות הקבוצות
B
=
{
1
,
2
}
,
A
=
{
1
,
2
,
2
}
{\displaystyle B=\{1,2\}\ ,\ A=\{1,2,2\}}
. אזי:
B
=
A
{\displaystyle B=A}
. (ודאו שהנכם מבינים מדוע)
לכל קבוצה
A
{\displaystyle A}
מתקיים:
A
=
A
{\displaystyle A=A}
(תכונת הרפלקסיביות). ניתן לכתוב תכונה זו גם באופן הבא:
x
∈
A
⟺
x
∈
A
{\displaystyle x\in A\iff x\in A}
.
תכונת הטרנזיטיביות:
(
A
=
B
)
∧
(
B
=
C
)
⇒
(
A
=
C
)
{\displaystyle (A=B)\land (B=C)\Rightarrow (A=C)}
. תכונה זו, כמו גם התכונה הקודמת שצוינה, הנה ברורה ודומה כי מיותר לציינה. לדברים שהם ברורים קוראים במתמטיקה "דברים טריוויאלים".