חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/פעולות אריתמטיות על קבוצות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חשבון אינפיניטסימלי











איחוד (Unification)[עריכה]

נתונות הקבוצות . האיחוד ביניהן יסומן כך:

כלומר הקבוצה מורכבת מכל האברים בקבוצה ומכל האברים בקבוצה .

  • נשים לב לשימוש בכַּמָּת "או": מספיק שאבר יקיים רק אחד מהתנאים (במקרה שלנו: מספיק שאבר ישתייך רק לאחת מהקבוצות או ) על־מנת להיות בקבוצה .
  • ניתן להגדיר איחוד של מספר קבוצות: וכו'. ואז, הקבוצה החדשה תכיל את כל האברים של כל הקבוצות.
  • אם קבוצת אינדקסים (למשל: קבוצה עם אינדקסים), נוכל להגדיר איחוד בין הקבוצות (כלומר עם אינדקס ) באופן הבא:
  • עבור מתקיים: וגם .
  • לכל קבוצה מתקיים:
  • דוגמא: נתון . אזי .
  • דוגמא נוספת, כמובטח למעלה: את קבוצת המספרים השלמים נוכל לכתוב באופן הבא, במונחים של איחוד קבוצות: , כאשר פירושו: .

חיתוך (Intersection)[עריכה]

נתונות הקבוצות . החיתוך ביניהן יסומן כך:

כלומר הקבוצה מורכבת מהאברים שנמצאים גם בקבוצה וגם בקבוצה .

  • נשים לב לשימוש בכַּמָּת "וגם": על אבר כלשהו להשתייך הן לקבוצה והן לקבוצה על־מנת להיות בקבוצה .
  • ניתן להגדיר חיתוך של מספר קבוצות: . ואז, הקבוצה החדשה תכיל רק את האברים המשותפים לכל הקבוצות.
  • אם קבוצת אינדקסים (למשל: קבוצה עם אינדקסים), נוכל להגדיר חיתוך בין הקבוצות (כלומר עם אינדקס ) באופן הבא:
  • עבור מתקיים: וגם .
  • לכל קבוצה מתקיים:
  • דוגמא: נתון . אזי .

חיסור בין קבוצות[עריכה]

לכל שתי קבוצות נוכל להגדיר את פעולת החיסור באופן הבא: כלומר, הקבוצה מכילה את כל אברי שאינם נמצאים בקבוצה .

  • עבור , מתקיים: .
  • לכל קבוצה , מתקיים: .
  • דוגמא: נתון . אזי .
  • חשוב: לא להתבלבל בין סימן חיסור הקבוצות לבין הסימן (שמשמש, לרוב, לסימון חילוק, או בקורסים אחרים לסימון מחלקות שקילות)!!! המשמעות של כל אחד מהסימנים שונה לחלוטין!
  • שימו לב, שבניגוד לסימנים שראינו עד כה, כאן הסדר כן משנה. כלומר, מתקיים: , וכן . לעומת זאת, לרוב .

שוויון בין קבוצות[עריכה]

מאחר והגדרנו קבוצה כאוסף של אברים, אנו נבדיל בין הקבוצות לפי האברים שלהן. כלומר, הביטוי "" ייכתב באופן הבא: .

  • דוגמא חשובה: נתונות הקבוצות . אזי: . (ודאו שהנכם מבינים מדוע)
  • לכל קבוצה מתקיים: (תכונת הרפלקסיביות). ניתן לכתוב תכונה זו גם באופן הבא: .
  • תכונת הטרנזיטיביות: . תכונה זו, כמו גם התכונה הקודמת שצוינה, הנה ברורה ודומה כי מיותר לציינה. לדברים שהם ברורים קוראים במתמטיקה "דברים טריוויאלים".


הפרק הקודם:
'
מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות
תרגילים
הפרק הבא:
קטעים