חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/פעולות אריתמטיות על קבוצות
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
איחוד (Unification)[עריכה]
נתונות הקבוצות . האיחוד ביניהן יסומן כך:
כלומר הקבוצה מורכבת מכל האברים בקבוצה ומכל האברים בקבוצה .
- נשים לב לשימוש בכַּמָּת "או": מספיק שאבר יקיים רק אחד מהתנאים (במקרה שלנו: מספיק שאבר ישתייך רק לאחת מהקבוצות או ) על־מנת להיות בקבוצה .
- ניתן להגדיר איחוד של מספר קבוצות: וכו'. ואז, הקבוצה החדשה תכיל את כל האברים של כל הקבוצות.
- אם קבוצת אינדקסים (למשל: קבוצה עם אינדקסים), נוכל להגדיר איחוד בין הקבוצות (כלומר עם אינדקס ) באופן הבא:
- עבור מתקיים: וגם .
- לכל קבוצה מתקיים:
- דוגמא: נתון . אזי .
- דוגמא נוספת, כמובטח למעלה: את קבוצת המספרים השלמים נוכל לכתוב באופן הבא, במונחים של איחוד קבוצות: , כאשר פירושו: .
חיתוך (Intersection)[עריכה]
נתונות הקבוצות . החיתוך ביניהן יסומן כך:
כלומר הקבוצה מורכבת מהאברים שנמצאים גם בקבוצה וגם בקבוצה .
- נשים לב לשימוש בכַּמָּת "וגם": על אבר כלשהו להשתייך הן לקבוצה והן לקבוצה על־מנת להיות בקבוצה .
- ניתן להגדיר חיתוך של מספר קבוצות: . ואז, הקבוצה החדשה תכיל רק את האברים המשותפים לכל הקבוצות.
- אם קבוצת אינדקסים (למשל: קבוצה עם אינדקסים), נוכל להגדיר חיתוך בין הקבוצות (כלומר עם אינדקס ) באופן הבא:
- עבור מתקיים: וגם .
- לכל קבוצה מתקיים:
- דוגמא: נתון . אזי .
חיסור בין קבוצות[עריכה]
לכל שתי קבוצות נוכל להגדיר את פעולת החיסור באופן הבא: כלומר, הקבוצה מכילה את כל אברי שאינם נמצאים בקבוצה .
- עבור , מתקיים: .
- לכל קבוצה , מתקיים: .
- דוגמא: נתון . אזי .
- חשוב: לא להתבלבל בין סימן חיסור הקבוצות לבין הסימן (שמשמש, לרוב, לסימון חילוק, או בקורסים אחרים לסימון מחלקות שקילות)!!! המשמעות של כל אחד מהסימנים שונה לחלוטין!
- שימו לב, שבניגוד לסימנים שראינו עד כה, כאן הסדר כן משנה. כלומר, מתקיים: , וכן . לעומת זאת, לרוב .
שוויון בין קבוצות[עריכה]
מאחר והגדרנו קבוצה כאוסף של אברים, אנו נבדיל בין הקבוצות לפי האברים שלהן. כלומר, הביטוי "" ייכתב באופן הבא: .
- דוגמא חשובה: נתונות הקבוצות . אזי: . (ודאו שהנכם מבינים מדוע)
- לכל קבוצה מתקיים: (תכונת הרפלקסיביות). ניתן לכתוב תכונה זו גם באופן הבא: .
- תכונת הטרנזיטיביות: . תכונה זו, כמו גם התכונה הקודמת שצוינה, הנה ברורה ודומה כי מיותר לציינה. לדברים שהם ברורים קוראים במתמטיקה "דברים טריוויאלים".
הפרק הקודם: ' |
מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות תרגילים |
הפרק הבא: קטעים |